Questão 3

ITA 2006

Física

(ITA - 2006 - 1a fase)

À borda de um precipício de um certo planeta, no qual se pode desprezar a resistência do ar, um astronauta mede o tempo t₁ que uma pedra leva para atingir o solo, após deixada cair de uma de altura H. A seguir, ele mede o tempo t₂ que uma pedra também leva para atingir o solo, após ser lançada para cima até uma altura h, como mostra a figura. Assinale a expressão que dá a altura H.

Gabarito:

Resolução:

Assumindo um eixo vertical com sentido positivo orientado para cima, e com origem no solo, podemos determinar $H = frac{gt_1^2}{2}$ .

Nas alternativas não aparece a aceleração da gravidade, então vamos isolá-la e tentar substituir na relação para a situação em que a bola é lançada para cima.

Portanto, $g = frac{2H}{t_1^2} (I)$ .

Para analisarmos o segundo lançamento, vamos assumir que a velocidade inicial é V.

Por Torricelli, para irmos do ponto de lançamento até a posição de altura máxima, obtemos:

$0 = V^2 - 2gh$ , logo $V = sqrt{2gh}$ .

Analisando a função horária da posição para o lançamento, obtemos:

$S(t) = H +sqrt{2gh}cdot t -frac{gt^2}{2}$

Pelo enunciado, S(t₂) = 0. Portanto:

$0 = H +sqrt{2gh}cdot t_2 -frac{gt_2^2}{2} (II)$

Substituindo I em II:

$0 = H +sqrt{2hcdotfrac{2H}{t_1^2}}cdot t_2 -frac{2Ht_2^2}{2t_1^2}$

$0 = H +frac{2}{t_1}sqrt{hH}cdot t_2 -frac{2Ht_2^2}{2t_1^2}$

$frac{2Ht_2^2}{2t_1^2} - H = frac{2}{t_1}sqrt{hH}cdot t_2$

$Hcdot(frac{t_2^2}{t_1^2} -1)= frac{2t_2}{t_1}sqrt{hH}$

$Hcdot(frac{t_2^2}{t_1} -t_1)= 2t_2sqrt{hH}$

Elevando ambos os lados ao quadrado:

$H^2cdot(frac{t_2^2}{t_1} -t_1)^2= 4t_2^2hH$

Se H não for nulo(o que seria uma resposta trivial), podemos simplificar a expressão para:

$Hcdot(frac{t_2^2}{t_1} -t_1)^2= 4t_2^2h$

$H = frac{4t_2^2h}{frac{t_2^2}{t_1} -t_1)^2}$

$H = frac{4t_2^2ht_1^2}{(t_2^2 -t_1^2)^2}$ .

Alternativa E.

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