Questão 27

ITA 2005

Matemática

(ITA - 2005 - 2 FASE ) Um dos catetos de um triângulo retângulo mede $sqrt[3]{2}$ cm. O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em torno da hipotenusa é $pi cm^{3}$ . Determine os ângulos deste triângulo.

Gabarito:

Resolução:

1) Volume do sólido gerado:

$V=frac{pi m^2(h_1+h_2)}{3}$

$pi=frac{pi m^2h}{3}$ → $h$ é a hipotenusa

$1=frac{m^2h}{3}$

$m=sqrt{frac{3}{h}}$

2) Área do triângulo retângulo pode ser representada por $frac{bc}{2}$ ou $frac{mh}{2}$ . Logo:

$frac{bc}{2}=frac{mh}{2}$

Chamando $b$ de $sqrt[3]{2}$ :

$sqrt[3]{2}cdot c = sqrt{frac{3}{h}}cdot h$

$sqrt[3]{4}cdot c^2 = 3h$

$c^2 = frac{3h}{sqrt[3]{4}}$

3) Pelo Teorema de Pitágoras:

$(sqrt[3]{2})^2+c^2=h^2$

$sqrt[3]{4}+frac{3h}{sqrt[3]{4}}=h^2$

$sqrt[3]{16}+3h=h^2 cdot sqrt[3]{4}$

$h^2 cdot sqrt[3]{4}-3h-sqrt[3]{16}=0$

$Delta =9+4cdot 4=25$

$h=frac{3pm 5}{2sqrt[3]{4}}$

$h=frac{8}{2sqrt[3]{4}}$

$h=frac{4sqrt[3]{2}}{2}$

$h=2sqrt[3]{2}$

4) Substituindo esse valor para encontrar c:

$c^2 = frac{3h}{sqrt[3]{4}}$

$c^2=frac{6sqrt[3]{4}}{2}$

$c^2=sqrt{3}sqrt[3]{2}$

5) Encontrando a razão $frac{c}{h}$ :

$frac{c}{h}=frac{sqrt{3}sqrt[3]{2}}{2sqrt[3]{2}}$

$frac{c}{h}=frac{sqrt{3}}{2}$ ⇒ seno de 60°

Logo, concluímos que um dos ângulos é 60°. Como temos também um ângulo reto, então o terceiro ângulo é 30°.

Ângulos: 30°, 60° e 90°.

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