Questão 21

ITA 2005

Matemática

(ITA - 2005 - 2 FASE ) Seja a1, a2, ... uma progressão aritmética infinita tal que

$sum_{k=1}^{n} a_{3k} = nsqrt{2} + pi.n^{2}$ , para $n in mathbb{N}^*$

Determine o primeiro termo e a razão da progressão.

Gabarito:

Resolução:

Se $sum_{k=1}^{n} a_{3k} = nsqrt{2} + pi.n^{2}$ então

- Para n = 1, temos:

$a_3 = sqrt{2} + pi$

- Para n = 2, temos:

$a_3 + a_6= 2sqrt{2}+4pi$

Com isso, temos que:

$a_6= sqrt{2}+3pi$

Se $a_6 = a_3 + 3r$ , temos:

$sqrt{2} + 3pi = sqrt{2} + pi + 3r Leftrightarrow r = frac{2pi}{3}$

Se $a_3 = a_1 + 2r$ , temos:

$sqrt{2} + pi = a_1 + 2cdotfrac{2pi}{3} Leftrightarrow a_1 = sqrt{2} - frac{pi}{3}$

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