Questão 8

ITA 2002

Matemática

(ITA - 2002 - 1a Fase)

A divisão de um polinômio f(x) por $(x - 1) (x - 2)$ tem resto $x + 1$ . Se os restos das divisões de f(x) por $x - 1$ e $x - 2$ são, respectivamente, os números a e b, então $a^2 + b^2$ vale:

13.

Gabarito: 13.

Resolução:

Pelo enunciado podemos escrever:

$f(x)=q(x)(x-1)(x-2)+x+1quad(star)$

onde q(x) é o quociente da divisão e não temos conhecimento sobre. Além disso também temos:

$f(x)=q_1(x)(x-1)+a$

$f(x)=q_2(x)(x-2)+b$

onde novamente q₁(x) e q₂(x) são os quocientes da divisão.

Observe que:

$f(1)=a$

$f(2)=b$

mas calculando estes dois valores usando a expressão $(star)$ :

$f(1)=2=a$

$f(2)=3=b$

portanto:

$a^2+b^2=2^2+3^2=4+9=13$

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