Questão 2

ITA 2002

Matemática

(ITA - 2002 - 1a Fase)

Sejam a, b, c reais não-nulos e distintos, c > 0. Sendo par a função dada por $f(x) = frac{ax + b}{x + c}, -c < x < c$ , então f(x), para -c < x < c, é constante e igual a

a + b.

a + c.

Gabarito:

Resolução:

$f(x) = frac{ax + b}{x + c}$

1) Definição:

Uma função f é par se $f(x) = f(-x)$ ∀ $x$ ∈ ℝ

2) Da definição temos $f(x) = f(-x)$ :

$frac{a cdot (-x) + b}{-x + c}= frac{ax + b}{x + c}$

3) Utilizar multiplicação cruzada de frações (regra de três):

$left(-ax+b ight)left(x+c ight)=left(-x+c ight)left(ax+b ight)$

4) Expandindo os termos:

$-ax^2-acx+bx+bc=-ax^2-bx+acx+bc$

5) Simplificar:

$2bx-2acx=0$

6) Fatorando:

$2xleft(b-ac ight)=0$

7) Logo, ou $2x=0$ ou $b=ac.$

8) Como $x=0$ não convêm, $c=frac{b}{a}$

9) Com isso,

. $f(x) = frac{ax + b}{x + frac{b}{a}}$

10) Desenvolvendo:

$f(x) = frac{ax + b}{frac{ax+b}{a}}$

$f(x) = a cdot frac{ax + b}{ax+b}$

$f(x) = a$

11) Logo, $f(x)$ é constante.

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