Questão 4

ITA 2002

Matemática

(ITA - 2002 - 1a Fase)

Seja a equação em

$z^4 - z^2 + 1 = 0$ .

Qual dentre as alternativas a seguir é igual à soma de duas das raízes dessa equação?

Gabarito:

Resolução:

z⁴ - z² + 1 = 0

Seja z² = y. Temos então a função do segundo grau em y:

y² - y + 1 = 0

Resolvendo por Bhaskara, temos que:

y₁ = 1/2 + i*√3 /2 = cis(60º)

y₂ = 1/2 - i*√3 /2 = cis(-60º)

Lembrando que z² = y, temos que:

Para y₁:

z² = y₁, então

z₁ = √cis(60º) = cis(60º)^1/2 = cis(60º/2) = cis(30º) = √3/2 + i/2

z₂ = -√cis(60º) = -cis(60º)^1/2 = -cis(60º/2) = -cis(30º) = -√3/2 - i/2

Para y₂:

z² = y₂:

z₃ = √cis(-60º) = cis(-60º)^1/2 = cis(-60º/2) = cis(-30º) = √3/2 - i/2

z₄ = -√cis(-60º) = -cis(-60º)^1/2 = -cis(-60º/2) = -cis(-30º) = -√3/2 + i/2

Calculando as somas das raízes duas a duas, encontramos os resultados: 0; i; √3; -√3; -i

GABARITO: d

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