Questão 15

ITA 2002

Matemática

(ITA - 2002 - 1a Fase)

Seja A uma matriz real 2 x 2. Suponha que α e β sejam dois números distintos, e V e W duas matrizes reais 2 x 1 não-nulas, tais que

AV = αV e AW = βW.

Se a, b ∈ IR são tais que aV + bW é igual à matriz nula 2x1, então a + b vale

-1.

1/2.

-1/2.

Gabarito:

Resolução:

Sendo:

$V=egin{bmatrix} x\y end{bmatrix}$

$W=egin{bmatrix} w\z end{bmatrix}$

e sendo, $AV=alpha V$ e $AW=eta W$ e $aV+bW=0$ .

Temos então:

$aegin{bmatrix} x\y end{bmatrix}+begin{bmatrix} w\z end{bmatrix}=egin{bmatrix} 0\0 end{bmatrix}$

$left{egin{matrix} ax+bw=0;;(I)\ay+bz=0 ; ; (II) end{matrix} ight.$

Podemos fazer a seguinte manipulação:

$\A(aV+bW)=Acdot 0=0\ Aav+AbW=0\ a(AV)+b(AW)=0=aalpha V+beta W\$

Sendo assim:

$aalpha x+beta w=0;;(III)\ aalpha y+beta z=0; ; (IV)$

Manipulando I em III:

$\a(alpha-eta)x=0$

E II e IV:

$a(alpha-eta)y=0$

Portanto:

$left{egin{matrix} ax=0\ay=0 end{matrix} ight.$

Como x e y são diferentes de 0, a só pode valer 0.

Se aV+bW é igual a 0, a é 0 e V e W não são nulos, logo b também é 0.

Sendo assim, a+b=0.

$oxed{Letra; A}$

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