Questão 30

ITA 2002

Matemática

(ITA - 2002 - 2ª fase - Questão 30) Se x, y e z são ângulos internos de um triângulo ABC e $sin x= frac{sin y + sin z}{cos y+cos z}$ , prove que o triângulo ABC é retângulo.

Gabarito:

Resolução:

$sin x= frac{sin y + sin z}{cos y+cos z}$

Por Prostaférese: $siny+sinz = 2 cdot sinleft ( frac{y+z}{2} ight ) cdot cos left ( frac{y-z}{2} ight )$ e $cosy+cosz = 2 cdot cos left ( frac{y+z}{2} ight ) cdot cos left ( frac{y-z}{2} ight )$ . Assim:

$sin x= frac{sin y + sin z}{cos y+cos z}=frac{2 cdot sinleft ( frac{y+z}{2} ight ) cdot cos left ( frac{y-z}{2} ight )}{2 cdot cos left ( frac{y+z}{2} ight ) cdot cos left ( frac{y-z}{2} ight )}$

$sin x= tan left ( frac{y+z}{2} ight )$

Soma dos ângulos internos do triângulo: $x+y+z=180^circ$ ⇒ $frac{y+z}{2}=90^circ - frac{x}{2}$

$sin x= tan left (90^circ - frac{x}{2} ight )$

$sin x= ctg left (frac{x}{2} ight )$

$2 cdot sin left ( frac{x}{2} ight ) cdot cos left ( frac{x}{2} ight )= frac{cos left ( frac{x}{2} ight )}{sin left ( frac{x}{2} ight )}$

$sin left ( frac{x}{2} ight ) ^2=frac{1}{2}$

$sin left ( frac{x}{2} ight ) = pm frac{sqrt{2}}{2}$

Logo: $frac{x}{2}=45^circ$ ⇒ $x=90^circ$

Provamos que o triângulo é retângulo.

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