Questão 24

ITA 2002

Matemática

(ITA - 2002 - 2ª fase - Questão 24) Sejam $a$ e $b$ dois números complexos não-nulos, tais que $a^2+b^2=0$ . Se $z, w in mathbb{C}$ satisfazem

$left{egin{matrix} ar{z}w+zar{w}=6a \ ar{z}w-zar{w}=8b end{matrix} ight.$

determine o valor de $egin{vmatrix} a end{vmatrix}$ de forma que $egin{vmatrix} zw end{vmatrix}=1$ .

Gabarito:

Resolução:

$left{egin{matrix} ar{z}w+zar{w}=6a \ ar{z}w-zar{w}=8b end{matrix} ight.$

1) Somando as equações:

$ar{z}w=3a+4b$

Subtraindo as equações:

$zar{w}=3a-4b$

Multiplicando os dois termos:

$(ar{z}w)cdot (zar{w})=(3a+4b)cdot (3a-4b)$

$(ar{z}z)cdot (war{w})=9a^2-16b^2$

$|z|^2cdot |w|^2=9a^2-16b^2$

$|zw|^2=9a^2-16b^2$

Como $|zw|=1$ , então:

$9a^2-16b^2=1$

Temos também a equação $a^2+b^2=0$ .

2) $left{egin{matrix} 9a^2-16b^2=1 \ a^2+b^2=0 end{matrix} ight.$

Multiplicando a segunda equação por 16:

$left{egin{matrix} 9a^2-16b^2=1 \ 16a^2+16b^2=0 end{matrix} ight.$

Somando as equações:

$25a^2=1$

$a^2=frac{1}{25}$

$|a|=frac{1}{5}$

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