Questão 25

ITA 2001

Matemática

(ITA - 2001 - 1a Fase) O coeficiente angular da reta tangente à elipse

no primeiro quadrante e que corta o eixo das abscissas no ponto P = (8,0) é

Gabarito:

Resolução:

Resolução via derivada:

1) Primeiro vamos encontrar o coeficiente angular da reta tangente.

1.1) O Ponto da Elipse em que a reta tangente passa: T(a;b)
1.2) Ponto em que a reta tangente passa exterior a elipse: P(8;0)
1.3) Equação da reta para dois pontos:
$(y-y_0) = m(x-x_0)$

$b = m(a-8)$
$m=frac{b}{a-8}$

2) Agora vamos isolar o y na equação da elipse:

$frac{y^2}{9}=1-frac{x^2}{16}$

$y=sqrt{9 cdot (1-frac{x^2}{16})}$

$y=frac{3sqrt{16-x^2}}{4}$

3) Derivando:

$mathrm{Retirar:a:constante}:quad left(acdot f ight)=acdot f:$

$f(x)=frac{3}{4}frac{d}{dx}left(sqrt{16-x^2} ight)$

$mathrm{Aplicar:a:regra:da:cadeia}:quad frac{dfleft(u ight)}{dx}=frac{df}{du}cdot frac{du}{dx}$

$f=sqrt{u},::u=16-x^2$

$f(x)=frac{3}{4}frac{d}{du}left(sqrt{u} ight)frac{d}{dx}left(16-x^2 ight)$

$f(x)=frac{3}{4}cdot frac{1}{2sqrt{16-x^2}}left(-2x ight)$

$f(x)=-frac{3x}{4sqrt{16-x^2}}$

4) Com isso, o coeficiente angular no ponto T(a,b) será:

$m=-frac{3a}{4sqrt{16-a^2}}$

5) Igualando os coeficientes:

$frac{b}{a-8}=-frac{3a}{4sqrt{16-a^2}}$

6) Como a, b pertencem a elipse, logo:

$b=frac{3sqrt{16-a^2}}{4}$

7) Substituindo:

$frac{frac{3sqrt{16-a^2}}{4}}{a-8}=-frac{3a}{4sqrt{16-a^2}}$

$frac{3sqrt{16-a^2}}{4}cdot :4sqrt{16-a^2}=-left(a-8 ight)cdot :3a$

$12left(sqrt{16-a^2} ight)^2=-12aleft(a-8 ight)$

$a=2$

8) Logo, como

$m=-frac{3a}{4sqrt{16-a^2}}$

$m=-frac{3 cdot 2}{4sqrt{16-2^2}}=-frac{sqrt{3}}{4}$

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