Questão 5

ITA 2001

Matemática

(ITA - 2001) Um triângulo tem lados medindo 3, 4 e 5 centímetros. A partir dele, constrói-se uma sequência de triângulos do seguinte modo: os pontos médios dos lados de um triângulo são os vértices do seguinte. Dentre as alternativas abaixo, o valor em centímetros quadrados que está mais próximo da soma das áreas dos 78 primeiros triângulos assim construídos, incluindo o triângulo inicial, é:

Gabarito:

Resolução:

Um triângulo tem lados medindo 3, 4 e 5 centímetros: triângulo pitagórico

Podemos notar que o primeiro triângulo formado então terá lados medindo $frac{3}{2}$ , 2 e $frac{5}{2}$ centímetros, e também será pitágorico.

Sua área será:

$A_1 = frac{frac{3}{2} cdot 2}{2}= frac{3}{2}$

O segundo triângulo formado terá lados $frac{3}{4}, 1$ e $frac{5}{4}$ centímetros, e sua área será:

$A_2 = frac{frac{3}{4}cdot1}{2}= frac{3}{8}$

Seguindo a mesma lógica para a área do terceiro triângulo:

$A_{3}=frac{1}{2}cdot (frac{2}{2}cdot frac{1}{2})cdot (frac{3}{2}cdot frac{1}{2}cdot frac{1}{2})=frac{3}{32};cm^2$

Temos uma PG de razão igual a 1/4 e primeiro termo igual a 3/2

$\S_{n}=frac{a_{1}cdot (1-q^n)}{1-q}\\S_{78}=frac{frac{3}{2}cdot (1-(frac{1}{4})^{78})}{1-frac{1}{4}}=frac{frac{3}{2}}{frac{3}{4}}=2$

Área do triângulo inicial:

$frac{1}{2}cdot 4cdot 3=6;cm^2$

Soma total = 2 + 6 = 8

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