Questão 23

ITA 2001

Matemática

(ITA - 2001 - 1a Fase) A razão entre a área da base de uma pirâmide regular de base quadrada e a área de uma das faces é 2. Sabendo que o volume da pirâmide é de 12m³ , temos que a altura da pirâmide mede (em metros):

Gabarito:

Resolução:

1) Considere a figura seguinte:

Em que:

l -> medida do lado do quadrado

a -> medida do apótema da pirâmide

h -> medida da altura da pirâmide

2) Do enunciado temos que $frac{l^2}{frac{1}{2} cdot l cdot a}=2$ , ou seja, $l=a$

3) Aplicando-se o teorema de Pitágoras no triângulo VOM, resulta $a^2 = h^2 + left ( frac{l}{2} ight )^2$

4) Com isso, temos que $l^2 = frac{4h^2}{3}$

5) Como o volume da pirâmide é 12, devemos ter $frac{1}{3} cdot l^2 cdot h = 12$

6) Por fim, temos:

$frac{1}{3} cdot frac{4h^2}{3} cdot h = 12$

Logo, $h^3 = 27 ightarrow oxed{h=3}$

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