Questão 73927

ITA 2001

Matemática

(ITA - 01) Se $a in mathbb{R}$ é tal que $3y^2-y+a=0$ tem raiz dupla, então a solução da equação $3^{2x+1}-3^x+a=0$ é:

$log_26$

$-log_26$

$log_36$

$-log_3 6$

$1-log_3 6$

Gabarito:

$-log_3 6$

Resolução:

Como $3y^2-y+a=0$ tem raiz dupla, o $Delta$ da fórmula resolutiva será nulo, ou seja,

$Delta =(-1)^2-4cdot3cdot a=1-12a$

$0 =1-12a$

$1=12a$

$a=frac{1}{12}$

Substituindo o valor a na expressão $3^{2x+1}-3^x+a=0$ :

$3^{2x+1}-3^x+frac{1}{12}=0$

Usando propriedade de potência podemos reescreve a expressão:

$3^{2x}cdot 3^1-3^x+frac{1}{12}=0,Rightarrow,$

$3cdot (3^x)^2-(3^x)+frac{1}{12}=0,$

Fazendo $3^x=k$ :

$3k^2-k+frac{1}{12}=0$

$Delta =(-1)^2-4cdot 3cdot frac{1}{12},Rightarrow,Delta =1-1=0\$

$k=frac{-(-1)}{2cdot 3},Rightarrow,k=frac{1}{6}$

Retomando a variável original:

$3^x=frac{1}{6},Rightarrow,log 3^x = log 6^{-1},Rightarrow,xlog 3=- log 6,Rightarrow,x=-,frac{log 6}{log 3},Rightarrow,$

$x=-log_36\$

$x = colog_36$

Portanto, a alternativa correta é a alternativa D)

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