Questão 10

ITA 2001

Matemática

(ITA - 2001 - 1a Fase) Sendo $small alpha$ e $small eta$ os ângulos agudos de um triângulo retângulo, e sabendo que $small sen^22eta-2cos2eta=0$ , então $small senalpha$ é igual a:

$small frac{sqrt{2}}{2}$

$small frac{sqrt[4]{2}}{2}$

$small frac{sqrt[4]{8}}{2}$

$small frac{sqrt[4]{8}}{4}$

zero

Gabarito:

$small frac{sqrt[4]{8}}{2}$

Resolução:

• Se o triângulo é retângulo, então um dos ãngulos mede 90° e os outros dois somam 90°: $alpha +eta=90$ .

• Queremos encontrar o valor de $sen(alpha)$ , mas, como os ângulos são complementares, esse valor equivale a $cos(eta)$ .

• Vamos encontrar $cos(eta)$ pela equação:

$sen^2(2eta)-2cos(2eta)=0$

$[2sen(eta)cos(eta)]^2-2[2cos^2(eta)-1]=0$

$4sen^2(eta)cos^2(eta)-4cos^2(eta)+2=0$

$2[1-cos^2(eta)]cos^2(eta)-2cos^2(eta)+1=0$

$2cos^2(eta)-2cos^4(eta)-2cos^2(eta)+1=0$

$-2cos^4(eta)+1=0$

$cos^4(eta)=frac{1}{2}$

$cos^4(eta)=frac{8}{16}$

$cos(eta)=frac{sqrt[4]{8}}{2}$

$sen(alpha)=frac{sqrt[4]{8}}{2}$

Alternativa correta é Letra C.

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