Questão 7971
ITA 2000
(ITA - 2000) Sendo I um intervalo de números reais com extremidades em a e b, com a < b, o número real b - a é chamado de comprimento de I.
Considere a inequação
6x4 - 5x3 - 7x2 + 4x < 0.
A soma dos comprimentos dos intervalos nos quais ela é verdadeira é igual a
3/4.
3/2.
7/3.
11/6.
7/6.
Gabarito:
11/6.
Resolução:
6x4 - 5x3 - 7x2 + 4x < 0
Primeira coisa a se fazer é achar as raízes desse polinômio.
De cara já podemos perceber que 0 é uma raiz.
Outra coisa comum a se fazer logo no começo é testar 1 e -1 como raízes. Após esses testes, descobrimos mais uma raiz: -1
Agora precisamos fatorar:
Usando Briot Ruffini chegamos em uma equação do segundo grau: 6x² - 11x + 4
Dela, extraímos duas raízes: 1/2 e 4/3
Temos então as 4 raízes do polinômio:
-1 , 0 , 1/2 , 4/3
Agora precisamos fazer sua análise:
Ou seja, o polinômio é negativo em (-1, 0) u (1/2, 4/3)
O problema pede o comprimento total, que nada mais é que a soma dos comprimentos desses dois intervalos
0 - (-1) = 1
4/3 - 1/2 = 5/6
1 + 5/6 = 11/6
Alternativa D