Questão 7059

ITA 2000

Matemática

(Ita 2000) Seja S = [- 2, 2] e considere as afirmações:

I. , para todo x ∈ S.

II. , para todo x ∈ S.

III. 2^2x - 2^x ≤ 0, para todo x ∈ S.

Então, podemos dizer que

apenas I é verdadeira.

apenas III é verdadeira.

somente I e II são verdadeiras.

apenas II é falsa.

todas as afirmações são falsas.

Gabarito: apenas I é verdadeira.

Resolução:

I) Para x nesse intervalo, temos:

$-2 leq x leq 2 Leftrightarrow left ( frac{1}{2} ight )^{-2} geq left ( frac{1}{2} ight )^x geq left ( frac{1}{2} ight )^2 Leftrightarrow$

$Leftrightarrow left ( frac{1}{2} ight )^{2} leq left ( frac{1}{2} ight )^x leq left ( frac{1}{2} ight )^{-2} Leftrightarrow frac{1}{4}leq left ( frac{1}{2} ight )^x leq 4 Rightarrow$

$Rightarrow frac{1}{4}leq left ( frac{1}{2} ight )^x < 6$

Portanto, a afirmativa é verdadeira.

II) Tome x = 2, teremos:

$frac{1}{sqrt{32-2^{2}}} < frac{1}{sqrt{32}} Leftrightarrow frac{1}{sqrt{28}} < frac{1}{sqrt{32}}$

O que claramente é falso, visto que o denominador do lado esquerdo é menor e consequentemente o resultado da fração maior.

III) Tome x = 2, teremos:

$2^{2cdot2} - 2^{2} = 16 - 4 = 12$

Que é um número maior do que zero, tornando a afirmativa falsa.

Logo podemos concluir que a alternativa correta é a letra A.

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