Questão 7082

ITA 1996

Matemática

(Ita 1996) Se (x₀,y₀) é uma solução real do sistema

então x₀ + y₀ é igual a:

Gabarito:

Resolução:

1) Sejam $alpha$ e $eta$ , respectivamente, x+2y e x-2y; portanto o sistema:

$left{egin{matrix} log_2 (x+2y)-log_3(x-2y)=2 \ x^2-4y^2=4 Rightarrow (x+2y)(x-2y)=4end{matrix} ight.$

se torna:

$left{egin{matrix} log_2 alpha - log_3 eta = 2 \ alpha cdot eta =4 Rightarrow alpha = frac{4}{eta} end{matrix} ight.$

2) Com isso, temos:

$log_2 left (frac{4}{eta} ight ) - log_3 eta = 2$

$log_2 4 -log_2 eta - log_3 eta = 2$

$log_2 eta + log_3 eta =0$

A igualdade acima é verdadeira se, e somente se, $eta =1$ . Logo, $alpha =4$

3) Portanto temos o sistema:

$left{egin{matrix} x+2y=4 \ x-2y=1 end{matrix} ight.$

4) Resolvendo-se o sistema, temos que:

$x=frac{5}{2};e;y=frac{3}{4}$ .

5) A solução (x₀, y₀) é $left(frac{5}{2}, frac{3}{4} ight)$ e $x_{0}+y_{0}=frac{13}{4}$

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