Questão 6662

ITA 1996

Matemática

(ITA - 1996) Seja $(alpha)$ ∈ $[0, frac{pi}{2}]$ , tal que $sen(alpha) + cos(alpha) = m$ .
Então, o valor de $y = sen2(alpha)/(sen^3(alpha) + cos^3(alpha))$ será:

2(m²- 1) / m(4 - m²).

2(m²+ 1) / m(4 + m²).

2(m² - 1) / m(3 - m²).

2(m² - 1) / m(3 + m²).

2(m² + 1) / m(3 - m²).

Gabarito: 2(m² - 1) / m(3 - m²).

Resolução:

Primeiro vamos descobrir o valor de sen(2a).

$sena+cosa=m$

$2sena*cosa=m^2-1$

Agora vamos descobrir o valor de $sen^3a+cos^3a$

$sen^3a+cos^3a=(sena+cosa)(sen^2a-sena*cosa+cos^2a)$

$sen^3a+cos^3a=m(1-sena*cosa)$

$sen^3a+cos^3a=m[1-(frac{m^2-1}{2})]$

$sen^3a+cos^3a=m(3-m^2)frac{1}{2}$

Agora é só substituir os valores na expressão dada:

$frac{sen2a}{sen^3a+cos^3a}=frac{(m^2-1)}{m(3-m^2)frac{1}{2}}$

$frac{sen2a}{sen^3a+cos^3a}=frac{2(m^2-1)}{m(3-m^2)}$

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