Questão 20587

ITA 1996

Matemática

(ITA - 1996) Considere as funções reais f e g definidas por $f(x)=frac{(1+2x)}{(1-x^2)}$ , $xinmathbb{R}-{-1,1}$
e $g(x) = frac{x}{(1 + 2x)}$ , $x in mathbb{R}- frac{-1}{2}$

O maior subconjunto de onde pode ser definida a composta fog, tal que $(f;o;g)(x)<0$ , é:

A

B

C

D

E

Gabarito:

Resolução:

Resolução 1:

Vamos analisar a expressão de $(fog)(x)$ . Para isso, calcularemos a função composta $(fog)(x)$ :

Agora, vamos analisar o sinal de $(fog)(x)$ :

Observe então que o sinal de $(fog)(x)$ é negativo apenas entre -1 e -1/2 e entre -1/3 e -1/4.

Logo, o maior subconjunto dos reais no qual $(fog)(x)$ é negativa é:

Gabarito: letra a)

Resolução 2:

$f(x)=frac{1+2x}{1 - x^2}$

$g(x)=frac{x}{1 + 2x}$

1) Calculando $f(g(x))$ :

$large f(g(x))=frac{1+2cdot frac{x}{1 + 2x}}{1 - (frac{x}{1 + 2x})^2}$

2) Desenvolvendo:

2.1) $mathrm{Aplicar:as:propriedades:dos:expoentes}:quad left(frac{a}{b} ight)^c=frac{a^c}{b^c}$

$f(g(x))=frac{1+2cdot frac{x}{2x+1}}{1-frac{x^2}{left(2x+1 ight)^2}}$

2.2) Desenvolver $2cdot frac{x}{1+2x}$ :

$f(g(x))=frac{1+frac{2x}{2x+1}}{1-frac{x^2}{left(2x+1 ight)^2}}$

2.3) $mathrm{Simplificar}:1-frac{x^2}{left(1+2x ight)^2}:mathrm{em:uma:frac ilde{a}o}$ :

$frac{1cdot left(1+2x ight)^2}{left(1+2x ight)^2}-frac{x^2}{left(1+2x ight)^2}$

$frac{left(2x+1 ight)^2-x^2}{left(1+2x ight)^2}$

$mathrm{Expandir}:left(1+2x ight)^2-x^2:$

$large f(g(x))=frac{1+frac{2x}{2x+1}}{frac{1+4x+3x^2}{left(1+2x ight)^2}}$

2.4) $mathrm{Simplificar}:1+frac{2x}{1+2x}:mathrm{em:uma:frac ilde{a}o}$ :

$frac{1cdot left(1+2x ight)}{1+2x}+frac{xcdot :2}{1+2x}$

$frac{1+4x}{1+2x}$

$large f(g(x))=frac{frac{1+4x}{1+2x}}{frac{1+4x+3x^2}{left(1+2x ight)^2}}$

2.5) $mathrm{Dividir:frac ilde{o}es}:quad frac{frac{a}{b}}{frac{c}{d}}=frac{acdot :d}{bcdot :c}$ :

$f(g(x))=frac{left(1+4x ight)left(1+2x ight)^2}{left(1+2x ight)left(1+4x+3x^2 ight)}$

2.6) $mathrm{Eliminar:o:fator:comum:}:2x+1$ :

$f(g(x))=frac{left(4x+1 ight)left(2x+1 ight)}{1+4x+3x^2}$

3) Estamos procurando o caso em que f(g(x))<0, logo

$frac{left(4x+1 ight)left(2x+1 ight)}{1+4x+3x^2}<0$

4) $mathrm{Fatorar}:3x^2+4x+1:quad left(3x+1 ight)left(x+1 ight)$

$frac{left(4x+1 ight)left(2x+1 ight)}{left(3x+1 ight)left(x+1 ight)}<0$

5) $mathrm{Calcular:os:sinais:dos:fatores:de:}frac{left(4x+1 ight)left(2x+1 ight)}{left(3x+1 ight)left(x+1 ight)}$

6) $mathrm{Escolhendo:os:intervalos:que:satisfaçam:a:condição:solicitada:}:<:0$

$-1<x<-frac{1}{2}quad mathrm{ou}quad :-frac{1}{3}<x<-frac{1}{4} ightarrow (-1, -frac{1}{2})cup (-frac{1}{3}, -frac{1}{4})$

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