Questão 21221

ITA 1991

Matemática

(ITA-91) Considere a região do plano cartesiano xy definido pela desigualdade:

x² + y² - 2x + 4y + 4 ≤ 0.

Quando esta região rodar um ângulo de radianos em torno da reta y + x + 1 = 0, ela irá gerar um sólido cujo volume é igual a:

n. d. a.

Gabarito:

Resolução:

$\\ ext{Veja que a região é um círculo de centro em } (1,;-2) ext{ e raio unitário. De fato, pois:} \\ x^2+y^2-2x+4y+4leq0;;Rightarrow;;x^2-2x+1+y^2+4y+4leq 1;;Rightarrow;;(x-1)^2+(y+2)^2leq1\\ ext{A reta } y=-x-1 ext{ possui inclinação } -1 ext{ e corta o eixo } y ext{ em } y=-1 ext{} .\\ ext{Veja ainda que essa reta passa pelo centro do círculo, pois } x=1 ext{ e } y=-2 ext{ satisfazem a equação da reta e também a inequação do círculo.} \\ ext{Dessa forma, o volume pedido é:} \\ V=2cdotfrac{frac{pi}{3}}{2pi}cdot V_{esfera}=frac{1}{3}cdot frac{4}{3}pi R^3=frac{4}{9}pi cdot1^3;; herefore;;oxed{V=frac{4pi}{9}}$

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