Questão 8212

ITA 1985

Matemática

(ITA - 85) Um tronco de cone reto com bases paralelas está inscrito em uma esfera cujo raio mede 2 m. Se os raios das bases do tronco de cone medirem, respectivamente, r m e 2r m, então o seu volume medirá:

Gabarito:

Resolução:

A figura pedida na questão pode ser representada pela figura, que é uma seção mediana do conjunto esfera e cone:

Primeiramente, devemos encontrar os valores de FG. Para isso, calculamos os valores de FC e CG:

$\ Delta ACF:AC^2=AF^2+FC^2 \ 2^2=r^2+FC^2 \ FC=sqrt{4-r^2} \ Delta ECG:CE^2=EG^2+CG^2 \ 2^2 = (2r)^2 + CG^2 \ CG=2*sqrt{1-r^2}$

O valor de FG é:

$\FG=FC+CG\ FG=sqrt{4-r^2} +2sqrt{1-r^2}\$

Por fim, calculamos o volume do tronco de cone:

$\V_{tc}=frac{pi}{3}*FG*(AF^2+AF*EG+EG^2)\ \V_{tc}=frac{pi}{3}*(sqrt{4-r^2}+2sqrt{1-r^2})*(r^2+r*2r+(2r)^2)\ \V_{tc}=frac{pi}{3}*(sqrt{4-r^2}+2sqrt{1-r^2})*(r^2+2r^2+4r^2)\ \V_{tc}=frac{pi}{3}*(sqrt{4-r^2}+2sqrt{1-r^2})*7r^2\\\ \V_{tc}=frac{7pi r^2}{3}*(sqrt{4-r^2}+2sqrt{1-r^2})\$

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