Questão 5903
ITA 1985
(ITA 1985) Sejam X um conjunto não-vazio; A e B dois subconjuntos de X.
Definimos AC = {x ∈ R tal que x ∉ A} e A - B = {x ∈ A tal que x ∉ B}
Dadas as sentenças:
- A∩B=∅ ⇔ A⊂BC ⇔ B⊂AC , onde "⇔" significa "equivalente" e ∅ o conjunto vazio;
- Se X = R; A = {x ∈ R tal que x3 - 1 = 0}; B = {x ∈ R tal que x2 - 1 = 0} e C = {x ∈ R tal que x - 1 = 0}, então A = C = B;
- A - ∅ = A e A - B = A - (A∩B);
- A - B ≠ A∩BC;
Podemos afirmar que está (estão) correta(s):
1 e 3
1, 2 e 4
3 e 4
2, 3 e 4
2
Gabarito:
1 e 3
Resolução:
- A∩B=∅ ⇔ A⊂BC ⇔ B⊂AC , onde "⇔" significa "equivalente" e ∅ o conjunto vazio;
- Se X = R; A = {x ∈ R tal que x3 - 1 = 0}; B = {x ∈ R tal que x2 - 1 = 0} e C = {x ∈ R tal que x - 1 = 0}, então A = C = B;
- A - ∅ = A e A - B = A - (A∩B);
- A - B ≠ A∩BC;
1. A intersecção de dois conjuntos é vazio se um desses conjuntos for o vazio ou se os dois forem disjuntos, isto é, não possuem elementos em comum. Sabendo que BC é o conjunto de todos os elementos que não são os de B, então, sendo A e B disjuntos, A está necessariamente contido em BC . O mesmo ocorre para AC , temos que B está contido em AC .
Se algum deles for vazio, o mesmo ocorre, pois o vazio está contido em qualquer conjunto.
Usando o diagrama de Venn pode ser mais fácil de visualizar:
VERDADEIRA
2. As raízes reais de x³ - 1 = 0 e x - 1 = 0 é 1, mas as raízes de x² - 1 = 0 é 1 e -1. Desse modo A = C = {1} e B = {1; -1}. FALSA
3. O vazio está contido em todo conjunto e ele não contém nenhum elemento, então A - ∅ = A.
Vejam o diagrama de Venn:
VERDADEIRA
4. Olhando o diagrama de Venn a cima, é fácil de notar essa propriedade, que é muito importante por sinal:
Sejam A e B dois conjuntos, sempre teremos que: A - B = A∩BC
Logo 1 e 3 são verdadeiras.
Qualquer dúvida ou sugestão, pessoal, deixem nos comentários!!