Questão 7753

ITA 1973

Matemática

(ITA-73) Sejam n ∈ IN⁺, p ∈ IN onde IN = {0, 1, 2, ...}, N⁺ = {l, 2, 3, .. .}.

Então $sum_{p = 0}^{n}(-1)^{p-n}(-1)^{p}(-1)^{n-p}inom{n}{p}$ vale

-1

nenhuma das respostas anteriores.

Gabarito: 0

Resolução:

Vamos desenvolver esse somatório.

Temos que n-p sempre será igual a 1, e p-n será igual a -1, logo:

$(-1)^{p-n}=-1$ e $(-1)^{n-p}=-1$

Sendo assim, podemos transformar o somatório em:

$sum^n_{p=0}(-1)^pinom{n}{p}$

Temos uma interessante propriedade que pode nos ajudar aqui que é a seguinte:

$(a+b)^n=sum ^n_{p=0}a^pb^{n-p}inom{n}{p}$

Nos parece que não temos um termo que se pareça com o fator b, porém, temos que 1 elevado a qualquer coisa, continua sendo 1, então podemos colocá-lo como queremos no meio do somatório:

$sum ^n_{p=0}(-1)^p(1)^{n-p}inom{n}{p}$

Agora se parece com a propriedade, logo podemos:

$(-1+1)^n$

Como -1+1=0, o resultado dessa expressão é 0.

Letra B

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