Questão 6752

ITA 1973

Matemática

(ITA - 1973) A lei de decomposição do radium no tempo t ≥ 0, é dada por , onde M(t) é a quantidade de radium no tempo t; C, K são constantes positivas (e é base do logaritmo neperiano). Se a metade da quantidade primitiva M(0), desaparece em 1600 anos, qual a quantidade perdida em 100 anos?

$(1-100^{-1})$ da quantidade inicial

$(1-2^{-6})$ da quantidade inicial.

$(1-2^{-16})$ da quantidade inicial.

$(1-2^{-frac{1}{16}})$ da quantidade inicial

nenhuma das respostas anteriores.

Gabarito:

$(1-2^{-frac{1}{16}})$ da quantidade inicial

Resolução:

$\\ (i);;M(0)=C\\ frac{M(0)}{2}=Ce^{-kcdot1600};;Rightarrow;;frac{C}{2}=Ce^{-1600k};;Rightarrow;;2^{-1}=e^{-1600k};;Rightarrow;;1600k=ln2;;Rightarrow;;k=frac{ln2}{1600}\\ (ii);;M(100)=Ce^{-frac{ln2}{1600}cdot100}=Ce^{-frac{ln2}{16}}=Ccdot2^{-frac{1}{16}}\\ herefore;; ext{Quantidade perdida é: } M(0)-M(100)=C-Ccdot2^{-frac{1}{16}}=Ccdot(1-2^{-frac{1}{16}})$

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