Questão 6917

Matemática

(ITA - 1972 - Adaptada) Assinale uma solução para a equação trigonométrica

$x=2kpi+frac{pi}{11}$

$x=2kpi+frac{pi}{5}$

$x=2kpi+frac{pi}{7}$

$x=2kpi+frac{pi}{3}$

nenhuma das respostas anteriores

Gabarito:

nenhuma das respostas anteriores

Resolução:

Resolução 1:

Dividindo a equação por 2, temos:

$frac{sqrt{3}}{2}cdot sin x + frac{1}{2}cdot cos x = frac{sqrt{3}}{2}$

Veja que o primeiro número equivale ao cos 30° e o segundo número equivale ao sen 30°. Assim, temos:

$cos 30 cdot sin x + sin 30cdot cos x = frac{sqrt{3}}{2}$

Assim, temos:

$sin (x+30) = frac{sqrt{3}}{2}$

Colocando na notação da questão, vem:

$sin (x+frac{Pi}{6}) = frac{sqrt{3}}{2}$

$(x+frac{Pi}{6}) = frac{Pi}{3}+2kPi$ ou $(x+frac{Pi}{6}) = frac{2Pi}{3}+2kPi$

Portanto:

$x = frac{Pi}{6}+2kPi$ ou $x = frac{Pi}{2}+2kPi$

Alternativa E

Resolução 2:

Dividindo a equação por 2, temos:

$frac{sqrt{3}}{2}cdot sin x + frac{1}{2}cdot cos x = frac{sqrt{3}}{2}$

Veja que o primeiro número equivale ao sen 60° e o segundo número equivale ao cos 60°. Assim, temos:

$sin 60 cdot sin x + cos 60cdot cos x = frac{sqrt{3}}{2}$

Pela identidade trigonométrica cos (x – y) = sen y . sen x + cos y . cos x temos que:

$cosleft(x-frac{pi }{3} ight):=:frac{sqrt{3}}{2}$

Logo,

$x-frac{pi }{3}=frac{pi }{6}+2pi n:ou;x-frac{pi }{3}=frac{11pi }{6}+2pi n$

$x=2pi n+frac{pi }{2}:ou;x=2pi n+frac{pi }{6}$