Questão 7754

ITA 1971

Matemática

(ITA-71) Seja P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ... + a₁₀₀x¹⁰⁰ , onde a₁₀₀ = 1, um polinômio divisível por (x + 9)¹⁰⁰. Nestas condições temos:

$large a_2=50cdot 99cdot 9^{98}$

nenhuma das respostas anteriores.

Gabarito:

$large a_2=50cdot 99cdot 9^{98}$

Resolução:

Temos que,
$P(x)=kunderbrace{(x+9)(x+9)...(x+9)(x+9)}_{100}$

Como $a_{100}=1$ implica que $k=1$

Logo, para encontrar o valor de $a_2$ basta calcularmos o valor de $x^2$
$T_{p+1}=C_p^{100}9^px^{100-p}$

Assim devemos ter $p=98$
$T_{99}=C_{98}^{100}9^{98}x^2$

$C_{98}^{100}=frac{100!}{98!2!}=50.99$

Logo,
$T_{99}=50.99.9^{98}x^2$

Portanto,
$fbox{a_2=50.99.9^{98}}$