Questão 10

IME 2021

Matemática

(IME - 2021/2022 - 2ª fase) Seja um triângulo acutângulo $igtriangleup ABC$ onde $h_B$ e $h_C$ são as alturas dos vértices $B$ e $C$ , respectivamente, e $overline{BC} = a$ . Sabendo-se que $frac{h_Bh_C}{a^2} = frac{sqrt{6}}{4}$ e $cos hat{A} + cos hat{B}cos hat{C} = frac{p}{qsqrt{m}}$ , calcule $p+q+m$ .

Dados:

$p$ , $q$ e $m$ são números naturais;
$p$ e $q$ são primos entre si; e
$m$ é o menor possível.

Gabarito:

Resolução:

$Delta ABC$ é acutângulo.

Da lei dos senos:

$sen(B)=frac{h_c}{a}$

$sen(C)=frac{h_b}{a}$

Multiplicando ambos:

$frac{h_bcdot h_c}{a^2}=underset{(I)}{sen(B)cdot sen(C)}=frac{sqrt{6}}{4}$

Mas temos:

$cos(B)cdot cos(C)-underset{(I)}{sen(B)cdot sen(C)}=cos(B+C)$

$sen(B)cdot sen(C)=cos(B)cdot cos(C)-cos(B+C)$

$cos(B+C)=cos(180-A)=-cos(A)$ , pois $A+B+C=180$ , então:

$sen(B)cdot sen(C)=frac{sqrt{6}}{4}=cos(B)cdot cos(C)=frac{p}{qsqrt{m}}=frac{sqrt{6}}{4}cdot frac{sqrt{6}}{sqrt{6}}=frac{3}{2sqrt{6}}=frac{p}{qsqrt{m}}$

logo:

$p+q+m=3+2+6=11$

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