Questão 3

IME 2021

Matemática

(IME - 2021/2022)

Considere o conjunto de todas as retas que são secantes ao gráfico da função

$f(x)=ln(left | -frac{7}{12}+x-x^2 ight |^{3x-1})$

e que passam pelo ponto $(frac{1}{3},f(frac{1}{3})).$

O menor valor dentre os coeficientes angulares das retas desse conjunto é:

$-3ln(3)$

$frac{1}{2}ln(frac{1}{3})$

$3ln(frac{13}{36})$

$frac{1}{2}$

Gabarito:

$-3ln(3)$

Resolução:

Inicialmente, vamos calcular o valor de $f(frac{1}{3})$

$f(frac{1}{3}) = ln left( left| -frac{7}{12} + frac{1}{3} - left(frac{1}{3} ight)^2 ight|^{3cdotfrac{1}{3}-1} ight) Rightarrow f(frac{1}{3}) = ln (1) = 0$

Seja, então, $P(frac{1}{3},0)$ o ponto pelo qual as retas secantes ao gráfico de $f(x)$ passam. Seja ainda uma reta $r$ genérica desse conjunto expressa por:

$r: y = ax+b$

onde $a,binmathbb{R}$ . Como essa reta passa por $P$ , temos:

$rcap P: 0 = acdot frac{1}{3} + b Rightarrow b = -frac{a}{3} herefore r: y = ax - frac{a}{3} = a cdot left(x-frac{1}{3} ight)$

Portanto, o coeficiente angular da reta $r$ é $a$ , que é um número real. Dessa forma, basta avaliar qual alternativa possui o menor valor. Sabemos que existem números negativos nas alternativas, o que implica em descartar os números positivos, eliminando as alternativas D e E.

Vejamos então as alternativas A, B e C:

A - $-3ln(3)$
B - $frac{1}{2}lnleft(frac{1}{3} ight) = -frac{1}{2}ln(3)$
C - $3lnleft(frac{13}{36} ight) = -3lnleft(frac{36}{13} ight)$

Ora, veja que a letra A é menor que a letra B, descartando-se esta última. Portanto, a dúvida fica somente entre a A e a C. Veja que:

$frac{36}{13} < frac{39}{13} < 3$

$herefore lnleft(frac{36}{13} ight) < ln(3) Rightarrow -lnleft(frac{36}{13} ight) > -ln(3)$

Portanto, a alternativa que expressa o menor valor, e, então, o menor valor de coeficiente angular de $r$ , é a alternativa C.

Questão 3

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