Questão 4

IME 2021

Matemática

(IME - 2021/2022 - 2ª fase)

Seja um tetraedro regular ABCD de aresta a e o ponto Q médio de AB. O ponto P sobre a aresta AB, entre Q e A é projetado nas arestas AC e AD, sobre os pontos M e M', respectivamente, e também nas arestas BC e BD, sobre os pontos N e N', respectivamente. O plano M M' N N' divide o tretaedro em dois volumes com razão de 1 para 4. Determine QP em função de a.

Gabarito:

Resolução:

$x=PQ$

$frac{a}{2}-x=AP$

$frac{a}{2}+x=BP$

1) No $Delta ABC$ , temos que $Pwidehat{A}M=Pwidehat{B}N=60^circ$ :

$AM=APcdot cos(60^circ )=(frac{a}{2}-x)cdot frac{1}{2}$

$BN=BPcdot cos(60^circ )=(frac{a}{2}+x)cdot frac{1}{2}$

Analogamente para o triângulo $Delta ABD$ :

$AM=APcdot cos(60^circ )=(frac{a}{2}-x)cdot frac{1}{2}$

$BN=BPcdot cos(60^circ )=(frac{a}{2}+x)cdot frac{1}{2}$

2) No triângulo $Delta AMM$ , $AM=AM$ e $Mwidehat{A}M=60^circ$ , assim temos que $MM=AM=AM=(frac{a}{2}-x)cdot frac{1}{2}$

No triângulo $Delta BNN$ , $BN=BN$ e $Nwidehat{B}N=60^circ$ , assim temos que $NN=BM=BN=(frac{a}{2}+x)cdot frac{1}{2}$

No $Delta ACD$ , temos:

$MCDM=Delta ACD =Delta AMM$

$=frac{a^2sqrt{3}}{4}-[(frac{a}{2}-x)cdot frac{1}{2}]cdot frac{sqrt{3}}{4}$

$=frac{sqrt{3}}{4}cdot (frac{15a^2}{16}+frac{ax}{4}-frac{x^2}{4})$

No $Delta DBC$ , $[Delta NNC]=frac{NC}{BC}cdot [Delta NBC]=$

$frac{NC}{BC}cdot frac{BN}{BD} [Delta BDC]=$

$(1-frac{NB}{BD})cdot (frac{BN}{BC})cdot frac{a^2sqrt{3}}{4}=$

$frac{(frac{3a}{4}-frac{x}{2})cdot (frac{a}{4}+frac{x}{2})}{a^2}cdot frac{a^2sqrt{3}}{4}=$

$frac{sqrt{3}}{4}cdot(frac{3a^2}{16}+frac{ax}{4}-frac{x^2}{4})$

O maior volume do maior dos sólidos selecionados por $MMNN$ é:

$Vol(nMMDC)+Vol(MNNC)=$

$frac{1}{3}cdot d(n, MMDC)cdot [MMDC]+frac{1}{3}cdot d(M, BCD)cdot [Delta NNC]=$

Como $frac{asqrt{6}}{3}$ é altura de $ABCD$ :

$d(n, MMDC)=frac{DN}{BD}cdot frac{asqrt{6}}{3}=(1-frac{BN}{BD})cdot frac{asqrt{6}}{3}=(frac{3a}{4}+frac{x}{2})cdot frac{asqrt{6}}{3}$

Então, o volume é:

$frac{1}{3}cdot (frac{3a}{4}-frac{x}{2})cdot frac{sqrt{6}}{3}cdot frac{sqrt{3}}{4}cdot (frac{15a^2}{16}+frac{ax}{4}-frac{x^2}{4})+frac{1}{3}cdot (frac{3a}{4}+frac{x}{2})cdot frac{sqrt{6}}{3}cdot frac{sqrt{3}}{4}cdot (frac{3a^2}{16}+frac{ax}{4}-frac{x^2}{4})=$