Questão 7

IME 2021

Matemática

(IME - 2021/2022 - 2ª fase)

Sejam os pontos a e b, no plano complexo, representados pelos números a = 9 + xi e b = y + 3i, onde i é a unidade imaginária tal que i²= -1. O ponto a é a rotação de 30º do ponto b em torno da origem no sentido anti-horário. Determine o valor do produto xy.

Gabarito:

Resolução:

A imagem a seguir ilustra a situação descrita no enunciado:

$bcdot cis(30^circ )=a$

$(y+3i)cdot (frac{sqrt{3}}{2}+frac{i}{2})=(9+xi)$

$frac{sqrt{3}y}{2}+frac{iy}{2}+ frac{3sqrt{3}i}{2}-frac{3}{2}=9+xi$

Assim, temos um sistema de duas equações e duas incógnitas:

$left{egin{matrix} frac{sqrt{3}y}{2}-frac{3}{2}=9\frac{3sqrt{3}}{2}+frac{y}{2}=x end{matrix} ight.$

$sqrt{3}y-3=18$

$sqrt{3}y=21$

$y=frac{21}{sqrt{3}}$

$y=7sqrt{3}$

$3sqrt{3}+y=2x$

$2x=3sqrt{3}+7sqrt{3}=10sqrt{3}$

$x=5sqrt{3}$

Produto $xy$ :

$xy=5sqrt{3}cdot 7sqrt{3}$

$xy=35cdot 3$

$xy=105$

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