Questão 9

IME 2021

Matemática

(IME - 2021/2022 - 2ª fase)

Sabendo-se que $frac{sen^4alpha}{a} +frac{cos^4alpha}{b} = frac{1}{a+b}$ com $a eq 0$ , $b eq 0$ e $a + b eq 0$ , determine $frac{sen^8alpha}{a^3} + frac{cos^8alpha}{b^3}$ em função de $a$ e $b$ somente.

Gabarito:

Resolução:

$frac{sen^4alpha}{a} +frac{cos^4alpha}{b} = frac{1}{a+b}$

multiplicando ambos os lados por a+b, a e b:

$b(a+b)sen^4alpha+a(a+b)cos^4alpha=ab$

$absen^4alpha+b^2sen^4alpha+a^2cos^4alpha+abcos^4alpha-ab=0$

$b^2sen^4alpha+a^2cos^4alpha+ab(sen^4alpha+cos^4alpha-1)=0$

$b^2sen^4alpha+a^2cos^4alpha+ab[(sen^2alpha+cos^2alpha)-2sen^2alpha;cos^2alpha-1]=0$

$b^2sen^4alpha+a^2cos^4alpha-2ab;sen^2alpha;cos^2alpha=0$

$(b;sen^2alpha-a;cos^2alpha)^2=0$

$b;sen^2alpha-a;cos^2alpha=0$

$sen^2alpha=frac{a;cos^2alpha}{b}$

$sen^4alpha=frac{a^2;cos^4alpha}{b^2}$

Assim, temos:

$frac{1}{a+b}=frac{sen^4alpha}{a}+frac{cos^4alpha}{b}=frac{a;cos^4alpha}{b^2}+frac{cos^4alpha}{b}$

$frac{1}{a+b}=cos^4alpha(frac{a+b}{b^2})$

$cos^4alpha=frac{b^2}{(a+b)^2}$

$sen^4alpha=frac{a^2}{(a+b)^2}$

$frac{sen^8alpha}{a^3} +frac{cos^8alpha}{b^3} = frac{a}{(a+b)^2}+frac{b}{(a+b)^4}=frac{1}{(a+b)^3}$

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