Questão 6

IME 2021

Matemática

(IME - 2021/2022 - 2ª fase) Determine o subconjunto de $mathbb{R}$ que corresponde à solução da equação:

$4^{log_2sen(x)}+ log_4^{cos(2x)}+ frac{x}{sqrt{4x^2}}=0$

Gabarito:

Resolução:

Seja a equação dada no exercício. Primeiramente, precisamos fazer a condição de existência :

C.E: I). $x otequiv 0$

II) . sen(x) > 0 $0 leq x leq pi$

Desenvolvendo a equação, temos:

$(2^{2})^{log_2 sen(x)} + cos(2x).log_4 2 + frac{x}{2sqrt(x^{2})} = 0$

$(2^{log_2 sen(x)})^{2} + cos(2x).frac{1}{2}+ frac{x}{2|x|} = 0$

$sen(x)^{2} + cos(2x).frac{1}{2}+ frac{x}{2|x|} = 0$

Sabemos que a identidade $cos(2x) = 1 - 2sen(x)^{2}$ , temos:

$sen(x)^{2} + frac{1}{2}.(1 - 2sen(x)^{2}) + frac{x}{2|x|} = 0$

$sen(x)^{2} + frac{1}{2} -sen(x)^{2} + frac{x}{2|x|} = 0$

$frac{x}{2|x|} = frac{-1}{2}$

$frac{x}{|x|} = -1$

$x = -|x|$

Das condições de existência, temos:

$2kpi < x < pi + 2kpi, K epsilon Z^{*}_-$

Logo este é o conjunto solução;

$S = left { 2kpi < x < pi + 2kpi, K epsilon Z^{*}_- ight}$

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