Questão 8

IME 2021

Matemática

(IME - 2021/2022 - 2ª fase)

Em uma sala com 11 estudantes, um professor decidiu aplicar um trabalho dividindo aleatoriamente a turma em três grupos de 3 estudantes e um grupo de 2 estudantes. Sabendo que na turma há um casal, qual é a probabilidade de que o mesmo faça o trabalho junto?

Gabarito:

Resolução:

Contando o número de formas de dividirmos os estudantes aleatoriamente:
Um grupo de 2 estudantes $inom{11}{2}$
Outro grupo de 3 estudantes $inom{9}{3}$
Outro grupo de 3 estudantes $inom{6}{3}$
Outro grupo de 3 estudantes $inom{3}{3}$

Dividindo por 3! para descontar a ordem dos 3 grupos de 3 estudantes, temos:

$frac{inom{3}{3}inom{6}{3}inom{9}{3}inom{11}{2}}{3!}=11cdot5cdot8cdot7cdot5$

Agora, contando o número de divisões favoráveis:

Um grupo de 3 estudantes $inom{9}{3}$
Outro grupo de 3 estudantes $inom{6}{3}$
O último grupo de 3 estudantes $inom{3}{3}$

Descontando a ordem dos 3 grupos de 3, conseguimos:

$frac{inom{9}{3}inom{6}{3}inom{3}{3}1}{3!}$

Caso o casal fique junto em um grupo de 3:

2 estudantes em um grupo de 2 $inom{9}{2}$

um estudante que se unirá ao casal $inom{7}{1}$

3 estudantes do outro grupo de 3 pessoas $inom{6}{3}$

ultimo grupo com 3 estudantes: $inom{3}{3}$

$frac{inom{9}{2}inom{7}{1}inom{6}{3}inom{3}{3}}{2!}$

Assim, calculando a probabilidade:

$P=frac{frac{1inom{9}{3}inom{6}{3}}{3!}+frac{inom{9}{2}inom{7}{1}inom{6}{3}}{2!}}{11cdot5cdot8cdot7cdot5}=frac{2}{11}$

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