Questão 1

IME 2021

Matemática

(IME - 2021/2022 - 2ª fase)

Seis irmãos conversavam quando um deles, Matias, enunciou: a soma das idades de todos nós é cinco vezes a minha idade atual e sou seis anos mais novo que Sófocles. Quando Sófocles tiver três vezes a minha idade atual, constataremos que:

a soma da minha idade com a de Dâmocles será igual à soma da idade atual dos irmãos de César;
a idade de Erastóstenes será três vezes a idade dele atual; e
a idade do Lutero será duas vezes a idade atual do Sófocles, mais um ano.

Diante do exposto, qual é a soma das idades atuais de Sófocles e Matias?

Gabarito:

Resolução:

$M=S-6$

$5M=M+S+D+E+C+L$

$M+(3M-S)+D+(3M-S)=M+S+D+E+L$

$E+3M-S=3E$

$(1+3M-S)=2S+1$

$M=S-6$
$4M=S+D+E+C+L$

$6M-3S=E+L ightarrow E=6M-3S-L$

$3M-S=2E ightarrow 3M-S=12M+6S-2L ightarrow 2L=9M-5S$
$L=3S-3M+1$

$2(3S-3M+1)=9M-5S$

$6S-6M+2=9M-5S$
$11S-15M=-2$
$11S-15(S-6)=-2$

$11S-15S+90=-2$
$-4S=-92$
$S=23$
$M=17$

$S+M=40$

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