Questão 11

IME 2021

Matemática

(IME - 2021/2022) Seja a matriz quadrada A de ordem 2021 cujo o elemento da linha i e coluna j é

$a_{ij}egin{cases} &1 ext{ se } i=1 ou i eq j \ &0 ext{ se } i = j otequiv 1 end{cases}$

com i, j $epsilon$ {1, 2, ... , 2021}. O valor do determinante de A é:

-2021

2021

-1

Gabarito:

Resolução:

Podemos analisar a questão de maneira trivial ao minimizar o problema em matrizes quadradas menores.

Começando pela matriz 2x2 aplicada ao sistema dado pela questão.

Ficando:

$egin{vmatrix} 1 &1 \ 1 &0 end{vmatrix}=-1$

Para matriz 3x3, vem:

$egin{vmatrix} 1 &1 &1 \ 1 &0 &1 \ 1 &1 &0 end{vmatrix}=1$

Para matriz 4x4, vem:

$egin{vmatrix} 1 & 1 & 1&1 \ 1 & 0 & 1 &1 \ 1& 1 & 0 &1\ 1& 1 & 1 & 0 end{vmatrix}=-1$

Daí podemos analisar que toda matriz:

$a_n$ com $n$ ímpar resulta em det = 1 e com $n$ par em det = -1.

Logo gabarito letra D

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