Questão 9

IME 2021

Matemática

(IME - 2021/2022)

Considere o quadrado de lado L apresentado na Figura A. Ao aplicar uma determinada operação de corte, obtem-se a Figura B e repetindo a operação, em cada quadrado remanescente, obtem-se a Figura C. Qual será a área remanescente, a partir do quadrado da Figura A, ao final de 10 operações?

$frac{5^9L^2}{9^9}$ .

$frac{5^{10}L^2}{9^{10}}$ .

$frac{5^{11}L^2}{9^{11}}$ .

$left ( frac{9^{10}-5^{10}}{9^{10}} ight )L^2$ .

$left ( frac{5^{10}-9^{10}}{9^{10}} ight )L^2$ .

Gabarito:

$frac{5^{10}L^2}{9^{10}}$ .

Resolução:

Temos que a área da figura A será dada por:

$S_1=L^2$

A área da figura B será dada por:

$S_2=frac{5}{9}cdot L^2$

E é possível observar um padrão em que a área subsequente será será a área anterior multiplicada pela razão $q=frac{5}{9}$ .

Por conta disso, vem que com 10 operações:

$S_{11}=L^2cdot (frac{5}{9})^{11-1}=L^2cdot frac{5^{10}}{9^{10}}$

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