Questão 10

IME 2021

Matemática

(IME - 2021/2022)

Considere as propriedades dos coeficientes binomiais. Qual das seguintes identidades está incorreta?

$egin{pmatrix}100\0 end{pmatrix}^2+egin{pmatrix}100\1 end{pmatrix}^2+...+egin{pmatrix}100\100 end{pmatrix}^2=egin{pmatrix}200\100 end{pmatrix}^2$ .

$egin{pmatrix}100\39 end{pmatrix}+egin{pmatrix}100\40 end{pmatrix}=egin{pmatrix}101\40 end{pmatrix}$ .

$2 imes1 imes inom{100}{2}+3 imes2 imesinom{100}{3}+4 imes3 imesinom{100}{4}+...+100 imes99 imesinom{100}{100}=9900 imes2^{98}$ .

$inom{100}{1}+2 imesinom{100}{2}+3 imesinom{100}{3}+...+100 imesinom{100}{100}=100 imes2^{99}$

$1-inom{100}{1}+inom{100}{2}-inom{100}{3}+...+inom{100}{100}=0$

Gabarito:

$egin{pmatrix}100\0 end{pmatrix}^2+egin{pmatrix}100\1 end{pmatrix}^2+...+egin{pmatrix}100\100 end{pmatrix}^2=egin{pmatrix}200\100 end{pmatrix}^2$ .

Resolução:

A. Identidade de Vandermonde: $inom{m+n}{r}=sum_{k=0}^{r}inom{m}{k}cdot inom{n}{r-k}$ .

Para o caso de $m=n=r$ , temos que: $inom{2m}{m}=sum_{k=0}^{m}inom{m}{k}cdot inom{m}{m-k}=sum_{k=0}^{m}inom{m}{k}^2$ .

Dessa forma, a alternativa é incorreta por apresentar como resultado $inom{200}{100}^2$ , uma vez que o resultado correto é $inom{200}{100}$

B. Relação de Stiffel: $inom{n}{k}+inom{n}{k+1}=inom{n+1}{k+1}$ . Alternativa correta.

C. A equação representada é $sum_{k=2}^{100}inom{100}{k}cdot frac{k!}{(k-2)!}$ . Simplificando, chegamos à: $sum_{k=2}^{100}frac{100!}{k!(100-k)!}cdot frac{k!}{(k-2)!}=sum_{k=2}^{100}frac{100!}{(100-k)!(k-2)!}$ $=frac{100!}{98!cdot0!}+frac{100!}{97!cdot1!}+frac{100!}{96!cdot2!}+...frac{100!}{0!cdot98!}$

$=frac{100cdot99cdot98!}{98!cdot0!}+frac{100cdot99cdot98!}{97!cdot1!}+frac{100cdot99cdot98!}{96!cdot2!}+...frac{100cdot99cdot98!}{0!cdot98!}$ $=100cdot99cdot[inom{98}{0}+inom{98}{1}+inom{98}{98}]=9900cdot 2^{98}$

Alternativa correta.

A equação representada é $sum_{k=1}^{100}inom{100}{k}cdot k$ . Simplificando, chegamos à: $=sum_{k=1}^{100}frac{100!cdot k}{k!(100-k)!}=sum_{k=1}^{100}frac{100!}{(k-1)!(100-k)!}$ $=frac{100!}{99!cdot0!}+frac{100!}{98!cdot1!}+frac{100!}{97!cdot2!}+...frac{100!}{0!cdot99!}$

$=frac{100cdot99!}{99!cdot0!}+frac{100cdot99!}{98!cdot1!}+frac{100cdot99!}{97!cdot2!}+...frac{100cdot99!}{0!cdot99!}$ $=100cdot[inom{99}{0}+inom{99}{1}+inom{99}{99}]=100cdot 2^{99}$