Questão 4

IME 2021

Física

(IME - 2021/2022)

Um prisma possui um ânguo agudo $alpha$ e índice de refração variável de acordo com a expressão:

$n (lambda) = A + frac {B}{lambda ^2}$

em que A e B são constantes e $lambda$ é o comprimento de onda.

Uma luz branca vinda do ar ( $n_0 = 1$ ) incide sobre a face vertical do prisma e sofre dispersão cromática no seu interior, voltando para o ar ao sair do prisma. Tal luz, possui componentes espectrais no intervalo: $lambda _1 leq lambda leq lambda _2$ .

Consideração:

Os ângulos $heta _0$ e $alpha$ são tão pequenos que a aproximação $sen (x) cong x$ é válida, para $x = heta _0$ ou $x = alpha$ .

Diante do exposto, a maior abertura angular $Delta heta$ entre as componentes espectrais é aproximadamente:

$frac {alpha A (lambda ^2 _2 - lambda ^2 _1)}{lambda _1 lambda_2}$

$frac { heta_0 A (lambda ^2 _2 - lambda ^2 _1)}{lambda _1 lambda_2}$

$frac {alpha B (lambda ^2 _2+ lambda ^2 _1)}{(lambda _1 lambda_2)^2}$

$frac { heta _0 B (lambda ^2 _2- lambda ^2 _1)}{(lambda _1 lambda_2)^2}$

$frac {alpha B (lambda ^2 _2- lambda ^2 _1)}{(lambda _1 lambda_2)^2}$

Gabarito:

$frac {alpha B (lambda ^2 _2- lambda ^2 _1)}{(lambda _1 lambda_2)^2}$

Resolução:

Usando as aproximações do enunciado, fazemos:
$left{egin{matrix} n_0cdot sin heta_0=ncdotsin(r_1)\ncdotsin(i_2)=n_0cdotsin(r_2) end{matrix} ight.xrightarrow{sin(x)approx x}left{egin{matrix} n_0cdot heta_0=ncdot r_1\ncdot i_2=n_0cdot r_2 end{matrix} ight.\ ext{Em um prisma como esse, temos a seguinte relacao:};alpha=r_1+i_2.\ ext{Com isso:}\left{egin{matrix} n_0cdot heta_0=ncdot r_1\ncdot i_2=n_0cdot r_2 end{matrix} ight.=left{egin{matrix} n_0cdot heta_0=ncdot r_1\ncdot (alpha-r_1)=n_0cdot r_2 end{matrix} ight.Rightarrow left{egin{matrix} r_1=frac{n_0cdot heta_0}{n}\r_1=alpha-frac{n_0cdot r_2}{n} end{matrix} ight.$

Igualando as relações de r₁:

$frac{n_0cdot heta_0}{n}=alpha-frac{n_0cdot r_2}{n}\r_2cdotfrac{n_0}{n}=alpha-frac{n_0cdot heta_0}{n}\r_2=frac{n}{n_0}cdot(alpha-frac{n_0cdot heta_0}{n})\ herefore underline{r_2=frac{ncdotalpha}{n_0}- heta_0}$

Pela imagem, podemos ver que o $Delta$ será calculado assim:

$Delta= heta_0+r_2-(r_1+i_2)= heta_0+left(frac{ncdotalpha}{n_0}- heta_0 ight)-alpha\underline{Delta = frac{ncdotalpha}{n_0}-alpha=alphacdotleft(frac{n}{n_0}-1 ight)}$

Por fim:

$Delta heta=Delta lambda_2-Deltalambda_1=alphacdotleft(frac{A+frac{B}{lambda_2^2}}{n_0}-1 ight)-alphacdotleft(frac{A+frac{B}{lambda_1^2}}{n_0}-1 ight)$

$Delta heta=alphacdotleft[frac{frac{Acdotlambda_2^2+B}{lambda_2^2}}{n_0}-1-left(frac{frac{Acdotlambda_1^2+B}{lambda_1^2}}{n_0}-1 ight ) ight]=alphacdotleft[ frac{Acdotlambda_2^2+B}{lambda_2^2cdot n_0}-1-left(frac{Acdotlambda_1^2+B}{lambda_1^2cdot n_0}-1 ight ) ight ]=$ $alphacdotleft(frac{Acdotlambda_2^2+B}{lambda_2^2cdot n_0}-frac{Acdotlambda_1^2+B}{lambda_1^2cdot n_0}- ot1+ ot1 ight )$

$hereforeoxed{Delta heta=frac{alpha Bcdot(lambda_2^2-lambda_1^2)}{(lambda_1cdotlambda_2)^2}}$

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