Questão 4

Matemática

[IME-2015/2016 - 2ª fase]

Define-se A como a matriz 2016x2016, cujos elementos satisfazem à igualdade:

$a_{i,j}=inom{i+j-2}{j-1}$ para $i,,j$ $in$ {1, 2, ..., 2016}.

Calcule o determinante de A.

Gabarito:

Resolução:

Tentaremos, a priori, ver um padrão nos determinantes. Notamos que:

$A_{1x1}=|inom{0}{0}|=1$

$A_{2x2}=egin{vmatrix} inom{0}{0} & inom{1}{1} \ inom{1}{0} & inom{2}{1}end{vmatrix}=egin{vmatrix} 1 &1 \ 1 & 2 end{vmatrix}=1$

$A_{3x3}=egin{vmatrix} 1 &1 &1 \ 1 &2 &3 \ 1& 3 &6 end{vmatrix}=1$

Supondo, agora, que para algum k temos $detA_{k , imes , k}=1$

Desse modo, podemos escrever que o número $a_{i,j}$ :

$a_{i,j}=a_{(i-1),j}+a_{i,(j-1)}$

Pois $inom{n}{k}=inom{n-1}{k-1}+inom{n-1}{k}$

Portanto, $detA_{k+1, imes, k+1}=detA_{k , imes , k}=1$

detA = 1.

(IME - 2015/2016) Dados três conjuntos quaisquer F, G e H. O conjunto G – H é igual ao conjunto:

[IME-2015 / 2016 - 1 fase] O polinômio tem raízes reais α, -α e 1/α. Portanto o valor da soma é

[IME-2015 / 2016 - 1 fase] Sabendo-se que m e n são inteiros positivos tais que 3m + 14400 = n2, determine o resto da divisão de m+n por 5.

[IME-2015 / 2016 - 1 fase] O valor do somatório abaixo é