Questão 9

IME 2015

Matemática

[IME- 2015/2016 - 2ª fase]

Uma corda intercepta o diâmetro de um círculo de centro O no ponto C’ segundo um ângulo de 45º. Sejam A e B os pontos extremos desta corda, e a distância AC’ igual a $sqrt3 + 1 , cm$ . O raio do círculo mede 2cm, e C é a extremidade do diâmetro mais distante de C’. O prolongamento do segmento AO intercepta BC em A’. Calcule a razão em que A’ divide BC.

Gabarito:

Resolução:

Podemos calcular a potência do ponto C' em relação à circunferência:

$P^{C} = DC cdot CC = BC cdot AC$

Logo, é necessário encontrarmos DC'. Podemos usar a lei dos cossenos em AC'O:

$2^{2} = (sqrt{3} +1)^{2} + x^{2} - 2 cdot (sqrt{3}+1)cdot x cdot frac{sqrt{2}}{2}$

$x = sqrt{6} ou x = sqrt{2}$

$sqrt{6}$ não serve como resultado pois é maior que 2. Assim, concluímos que $x = sqrt{2} e DC = 2 - sqrt{2}$

Substituindo na equação da potência:

$(2-sqrt{2}) cdot (2+sqrt{2}) = BC cdot (sqrt{3} +1)$

$BC = sqrt{3} - 1$

Aplicando Menelaus em BCC':

$frac{AC}{AB} cdot frac{BA}{aC} cdot frac{CO}{OC} = 1$

$frac{sqrt{3} + 1}{2sqrt{3}} cdot frac{BA}{aC} cdot frac{2}{sqrt{2}} = 1$

$frac{BA}{aC} = frac{sqrt{6}}{sqrt{3}+1}$

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