Questão 13

IME 2015

Matemática

[IME-2015 / 2016 - 1 fase]

Considere quatro pontos distintos coplanares. Das distâncias entre esses pontos, quatro delas valem a e duas delas valem b. O valor máximo da relação $(frac{b}{a})^2$ é

$2$

$1+sqrt{3}$

$2+sqrt{3}$

$1+2sqrt{2}$

$2+2sqrt{3}$

Gabarito:

$2+sqrt{3}$

Resolução:

Podemos pensar em 3 casos para que essa montagem seja possível:

Desse modo $b=sqrt{2}a$ , logo: $(frac{b}{a})^2=2$

Nesse caso, $frac{b}{a}=frac{sen150}{sen15}=sqrt{2+sqrt{3}}$ . Logo: $(frac{b}{a})^2=2+sqrt{3}$ .

Nesse caso $frac{b}{a}=frac{sen30}{sen75}=sqrt{2-sqrt{3}}$ . Logo: $(frac{b}{a})^2=2-sqrt{3}$ .

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