Questão 10

IME 2015

Física

[IME- 2015/2016 - 2ª fase]

A figura acima mostra uma fonte luminosa e uma lente convergente, presas a molas idênticas, de massas desprezíveis e relaxadas. A fonte e a lente são colocadas em contato, provocando a mesma elongação nas três molas. Em seguida são soltas e movimentam-se sem atrito.

Do instante inicial até o instante em que a fonte e a lente se encontram novamente, determine o tempo total em que a imagem formada é virtual.

Dados:

• constante elástica das molas: $k = 20 g/s^{2}$ ;

• massa da fonte luminosa + suporte: 20 g;

• massa da lente: 10 g;

• elongação das molas no instante do contato: 10 cm;

• distância focal da lente: 26,25 cm.

Gabarito:

Resolução:

A fonte e a lente encontram-se separadas por 20 centímetros e, depois de soltas, ambas entrarão em MHS de amplitude 10 cm, cuja origem será em seus pontos de relaxamento.

Para a fonte:

$omega_{f} = sqrt{frac{k}{m}}$

$omega_{f} = sqrt{frac{20 cdot 10^{-3}}{20 cdot 10^{-3}}} = 1 rad/s$

Dessa forma: $T_{f} = frac{2pi}{omega _{f}} Rightarrow T_{f} = 2pi s$

Lembrando a equação da posição do MHS:

$X = Acos(omega t + varphi _{0})$

Teremos que:

$x_{f} = 10cos( t + varphi _{0}) Rightarrow x_{f} (0) = 10 Rightarrow varphi _{0} = 0$

Portanto: $oxed {x_{f} = 10 cos (t)}$

Para a lente, supondo a origem do MHS no estado relaxado das molas:

$K_{eq} = K_{1} + K_{2} = 40 cdot 10^{-3} N/m$

$omega _{L} = sqrt{frac{k}{m}} = frac{40 cdot 10^{-3}}{10 cdot 10^{-3}} = 2 rad/s$

Logo, analogamente à fonte:

$T_{L} = frac{2pi}{2} = pi s$

$x_{L} = 10 cos(2t + varphi _{0})$

$x_{L} (0) = 10 cos(0+ varphi _{0}) = -10 Rightarrow varphi _{2} = pi$

Portanto, pela simetria do cosseno: $oxed {x_{L} = 10 cos (2t + pi) = -10 cos (2t)}$

A origem do movimento harmônico da fonte está a 20 cm À esquerda da origem do MHS da lente. Colocando as duas na origem da lente:

$x_{f} = 10cos(t) -20$

$x_{L} = -10cos(2t)$

Agora, para satisfazer a condição de que a imagem seja virtual, a fonte deve distar até uma vez a distância focal da lente. Disso: $x_{L} - x_{f} < f$ . Como os períodos são $2 pi$ e $pi$ , o novo encontro ocorrerá em $2pi$ s. Logo, devemos resolver a seguinte inequação: