Questão 7

IME 2015

Física

[IME- 2015/2016 - 2ª fase]

Seis blocos idênticos, identificados conforme a figura, encontram-se interligados por um sistema de cordas e polias ideais, inicialmente em equilíbrio estático sob ação de uma força F, paralela ao plano de deslizamento do bloco II e sentido representado na figura. Considere que: o conjunto de polias de raios r e R são solidárias entre si; não existe deslizamento entre os cabos e as polias; e existe atrito entre os blocos I e II e entre os blocos II e IV com as suas respectivas superfícies de contato. Determine:

a) o menor valor do módulo da força F para que o sistema permaneça em equilíbrio estático;

b) o maior valor do módulo da força F para que o sistema permaneça em equilíbrio estático quando a válvula for aberta e o líquido totalmente escoado;

c) o maior valor do módulo da força F para que não haja deslizamento entre os blocos I e II, admitindo que a válvula tenha sido aberta, o tanque esvaziado e a força F aumentado de modo que o sistema tenha entrado em movimento.

Dados:

• aceleração da gravidade: g;

• massa específica de cada bloco: $p_{B}$ ;

• volume de cada bloco: $V_{B}$ ;

• massa específica do líquido: $p_{L}$ ;

• coeficiente de atrito entre os blocos I e II: μ;

• coeficiente de atrito estático entre o bloco II e o solo: 1,5 μ;

• coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco II e o solo: 1,4 μ;

• coeficiente de atrito estático entre o bloco IV e a superfície com líquido: 0,5 μ;

• coeficiente de atrito estático entre o bloco IV e a superfície sem líquido: 0,85 μ;

• coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco IV e a superfície sem liquido: 0,75 μ;

• ângulo entre a superfície de contato do bloco IV e a horizontal: α.

Gabarito:

Resolução:

a) Polia:

$sum M_{0} = 0$

$2 ho _{B} V_{B} g cdot R + T_{4} cdot r = T_{2} cdot r + ho_{B} V_{B}g cdot R$

$T_{2} = T_{4} + frac{ ho _{B} V_{B} gR}{r}$

Bloco IV:

$N = (P-E) cos alpha = ( ho_{B} - ho _{L}) V_{B} g cos alpha$

$T_{4} = (P-E) senalpha - F_{at}$

$T_{4 min} = (P-E) sen alpha - F_{at max}$

$T_{4 min} = ( ho _{B} - ho _{L}) V_{B} g sen alpha - 0,5 mu ( ho _{B} - ho _{L}) V_{B} g cos alpha$

$T_{2 min} = T_{4 min} + frac{ ho _{B} V_{B} gR}{r} = frac{ ho _{B} V_{B} gR}{r} + ( ho _{B} - ho _{L}) V_{B} g senalpha - 0,5 mu ( ho _{B} - ho _{L})V_{B}g cosalpha$

Blocos I e II:

$F_{min} = T_{2 min} - F_{at max}$

$F_{min} = frac{ ho _{B} V_{B} gR}{r} + ( ho _{B} - ho _{L})V_{B} gsenalpha - 0,5 mu ( ho _{B} - ho _{L}) V_{B}gcosalpha - 1,5 mu cdot 2 ho _{B} V_{B} g$ $F_{min} = frac{ ho _{B} V_{b} gR}{r} - 3mu ho _{B} V_{B}g + ( ho _{B} - ho _{L})V_{B}g ( sen alpha - 0,5 mu cos alpha)$

Bloco IV:

$N = Pcosalpha = ho_{B}V_{B} gcosalpha$

$T_{4 max} = Psen alpha + F_{at max}$

$T_{4 max} = ho_{B} V_{B} g sen alpha + 0,85 mu cdot ho_{B} V_{B} cosalpha$

$T_{2 max} = T_{4 max} + frac{ ho _{B} V_{B} g R}{r}$

$T_{2 max} = ho _{B} V_{B g sen alpha} = 0,85 mu cdot ho_{B} V_{B} g cosalpha + frac{ ho _{B} V_{B} gR}{r}$

Blocos I e II:

$F_{max} = T_{2 max} + F_{at max}$

$F_{max} = ho _{B} V_{b} g senalpha + 0,85mu cdot ho _{B} V_{B} g cos alpha + frac{ ho _{B} V_{B} gR}{r} + 1,5 mu cdot 2 ho _{B}V_{B }g$ $F_{max} = ho _{B} V_{B} g ( senalpha + 0,85 mu cosalpha + 3mu + frac{R}{r})$

Bloco I:

Polias: agora, as polias giram no sentido anti-horário com a mesma aceleração angular:

$frac{a}{r} = frac{a}{R }$

$A = frac{mu gR}{r}$

$mg - T_{3} = ma Rightarrow T_{3} = mg - m cdot m cdot frac{mu gR}{r} = frac{mg (r -mu R)}{r} = frac{ ho _{B} V_{B} g (r - mu R) }{r}$

$T_{5} - mg = 2ma Rightarrow T_{5} = 2mg + 2m cdot frac{mu gR}{r} = frac{2mg (r + mu R)}{r} = frac{2 ho _{B} V_{B} g (r + mu R)}{r}$

As polias não tem massa, assim o torque é nulo:

$T_{2} r + T_{3} R = T_{4} r + T_{5} R ightarrow T_{2} = T_{4} + T_{5} cdot frac{R}{r} - T_{3} cdot frac{R}{r}$

Bloco IV:

$T_{4} - Psenalpha - F_{at} = ma$

$T_{4} = ho _{B} V_{B} g senalpha + 0,75 mu cdot ho _{B} V_{B}g cosalpha + mu _{B} V_{B} mu g$

$T_{2} = ho _{B} V_{B } g senalpha + 0,75 mu ho _{B}V_{B} gcosalpha + mu ho _{B} V_{B} g + frac{R}{r} ( frac{2 ho _{B} V_{B}g}{r}(r+mu R) - frac{ ho_{B} V_{B} g}{r}(r - mu R))$

Blocos I e II:

$F - T_{2} - F_{at} = 2m cdot a$

$F = 2 ho _{B}V_{B} mu g + 1,4 mu cdot 2 ho _{B} V_{B}g + ho_{B} V_{B} g senalpha + 0,75 mu ho _{B}V_{B} g cos alpha + mu ho_{B}V_{B} g + frac{R}{r} ( ho_{B} V_{B}g + frac{3 ho _{B} V_{B} g mu R}{r})$

$oxed {F = 5,8 mu ho _{B} V_{B} g + ho _{B} V_{B} g senalpha + 0,75 mu ho _{B} V_{B} g cos alpha + frac{ ho _{B} V_{B} g R}{r} + frac{3 ho _{B} V_{B} g mu R^{2}}{r^{2}}}$

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