Questão 5

IME 2015

Física

[IME-2 2015/2016 - 2ª fase]

A figura acima mostra uma estrutura em equilíbrio, formada por nove barras AB, AC, AD, AE, BC, BE, CD, CE e DE conectadas por articulações e apoiadas nos pontos A, B e C. O apoio A impede as translações nas direções dos eixos x, y e z, enquanto o apoio B impede as translações nas direções x e y. No ponto C, há um cabo CF que só restringe a translação da estrutura na direção do eixo y. Todas as barras possuem material uniforme e homogêneo e peso desprezível. No ponto E há uma carga concentrada, paralela ao eixo z, de cima para baixo, de 60 kN. Determine, em kN:

a) as componentes da reação do apoio B.

b) as componentes da reação do apoio A.

c) o módulo da força do cabo CF.

d) os módulos das forças das barras BE, BC, AB e AC.

Gabarito:

Resolução:

Como temos uma treliça em tres dimensões devemos ter:

$3N = B+R$

$3 cdot 5 = 9 + 6$

N = 5 (número de nós)

B = 9 (número de barras)

R = 3 +2 + 1 (número de reações nos apoios)

Analisando toda a treliça como um corpo:

Condição para o equilíbrio:

$sum{F_{x}} = 0 Rightarrow A_{x} + B_{x} = 0$

$oxed {A_{x} = -30 kN}$

$sum{F_{y}} = 0 Rightarrow A_{y} + B_{y} = C_{y}$

$oxed {A_{y} = + 60 kN}$

$sum{F_{z}} = 0 Rightarrow A_{z} = Q$

$oxed {A_{z} = +60 kN}$

$sum{ au _{A}} = 0 left{egin{matrix} sum { au _{x}} =&0 \ sum { au _{y}} =&0 \ sum { au _{z}} =&0 end{matrix} ight.$

$sum { au _{x}} = 0 herefore$

$B_{y} cdot 4 + Q cdot 4 = C_{y} cdot 4$

$B_{y} + Q = C_{y}$

$oxed {C_{y} = B_{y} + 60}$

$B_{y} = - 60 kN$

$sum { au_{y}} = 0 herefore B_{x} cdot 4 = 2 cdot Q Rightarrow oxed {B_{x} = 30 kN}$

$sum{ au _{z}} = 0 herefore C_{y} cdot 4 = 0$

$C_{y} = 0$

Agora, faremos o equilíbrio dos nós:

Nó B:

Supor:

BC(T)

AB(T)

BE(T)

Onde T é a tração e C a compressão.

$sum F_{x} = 0 ightarrow B_{x} = F_{BC} + F_{BE_{x}}$

$F_{Bc} + F_{BE _{x}} = 30 kN$

$sum F_{y} = 0 ightarrow F_{BE _{y}} = B_{y} herefore F_{BE_{y}} = 60 kN$

$sum F_{z} = 0 ightarrow F_{AB} + F_{F_{BE_{z}}} = 0$

Lembrando que:

$oxed{F_{BE_{x}} = F_{BE} cdot cos heta _{x} }$

$oxed { F_{BE_{y}} = F_{BE} cdot cos heta _{y} }$

$oxed {F_{BE _{z}} = F_{BE} cdot cos heta _{z} }$

Pela figura, podemos calcular:

$cos heta _{x} = frac{2}{6} = frac{ 1}{3}$

$\ cos heta _{y} = frac{4}{6} = frac{2}{3}$

$cos heta _{z} = frac{4}{6} = frac{2}{3}$

Assim:

$F_{BE _{y}} = F_{BE} cdot cos heta_{y}$

$60 = F_{BE} cdot frac{2}{3}$

$F_{BE} = 90 kN left{egin{matrix} F_{BE _{x}} = & 30 kN\ F _{BE_{y}} = & 60 kN end{matrix} ight.$ - BE sob tração

Logo: $F_{AB} + 60 = 0 Rightarrow F_{AB} = -60 kN$ - AB sob compressão

$F_{BC} + 30 = 30 ightarrow F_{BC} = 0$

Nó A:

$F_{AC_{x}} = F_{AC_{z}} = F_{AC} cdot frac{sqrt{2}}{2}$

$F_{AE_{x}} = F_{AE } cdot frac{sqrt{5}}{5}$

$F_{AE _{y}} = F_{AE} cdot frac{2sqrt{5}}{5}$

Suporte AE(C) e AC(T):

$sum F_{x} = 0: F_{AE_{x}} + F_{AD} = F_{AC_{x}} + A_{x}$

$F_{AE} cdot frac{sqrt{5}}{5} + F_{AD} = F_{AC} cdot frac{sqrt{2}}{2} + 30$

$sum{F_{y}} = 0 : F_{AE_{y}} = A_{y}$

$F_{AE} = frac{2sqrt{5}}{5} = 60 ightarrow oxed {F_{AE} = 30sqrt{5} kN}$

Como $F_{AC} = frac{sqrt{5}}{5} + F_{AD} = F_{AC} frac{sqrt{2}}{2} + 30$

$30 cdot sqrt{5} cdot frac{sqrt{5}}{5} + F_{AD} = 30$

$oxed {F_{AD} = 0}$

Portanto:

a) $B_{x} = +(30 kN) hat {i}$

$B_{y} = -(60 kN) hat {j}$

b) $A_{x} = -(30 kN) hat {i}$

$A_{y} = +(60 kN) hat {j}$

$A_{z} = +(60 kN) hat {k}$

c) $C_{y} = 0$

d) $F_{BE} = 90 kN (T)$

$F_{BC} = 0$

$F_{AB} = 60 kN ( C)$

$F_{AC} = 0$

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