Questão 26

IME 2015

Física

[IME-2015 / 2016 - 1 fase]

Dois observadores em movimento acompanham o deslocamento de uma partícula no plano. O observador 1, considerando estar no centro de seu sistema de coordenadas, verifica que a partícula descreve um movimento dado pelas equações x₁(t) = 3cos(t) e y₁(t) = 4sen(t), sendo t a variável tempo. O observador 2, considerando estar no centro de seu sistema de coordenadas, equaciona o movimento da partícula como x₂(t) = 5cos(t) e y₂(t) = 5sen(t). O observador 1 descreveria o movimento do observador 2 por meio da equação:
Observações:
• os eixos x₁ e x₂ são paralelos e possuem o mesmo sentido; e
• os eixos y₁ e y₂ são paralelos e possuem o mesmo sentido.

9x^2+16y^2=25

$frac{x^2}{9}+frac{y^2}{16}=25$

4x^2+y^2=1

$frac{x^2}{4}+y^2=1$

4x^2+y^2=4

Gabarito:

$frac{x^2}{4}+y^2=1$

Resolução:

1) Abscissa do observador 2 em relação ao observador 1:

$\ x = x_1-x_2 \ x = 3 cdot cos t - 5 cdot cos t \ x = -2 cdot cos t$

2) Ordenada do observador 2 em relação ao observador 1:

$\ y = y_1-y_2 \ y = 4 cdot sen t - 5 cdot sen t \ y = -sen t$

3) Temos em 1 e 2 que:

$-cos t = frac{x}{2} e -sen t = y$

4) Utilizando a identidade trigonométrica:

$sen ^2 x + cos ^2 x = 1$

5) Logo,

$frac{x^2}{4} + y^2 = 1$

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