Questão 6

IME 2013

Física

[IME- 2013/2014 - 2ª fase]

Um corpo luminoso encontra-se posicionado sobre o eixo óptico de uma lente esférica convergente de distância focal f, distando d do vértice da lente. Esse corpo se encontra sob a ação da gravidade e é lançado com velocidade v, formando um ângulo θ com a horizontal.

Determine o ângulo de lançamento θ necessário para que a distância entre esse eixo e a imagem do corpo luminoso produzida pela lente varie linearmente com o tempo, até o instante anterior ao de seu retorno ao eixo óptico.

Dados:

• g = 10 m/s²;

• v = 4 m/s;

• f = 1,2 m;

• d = 2 m.

Gabarito:

Resolução:

O movimento do objeto pode ser descrito da seguinte maneira:

verticalmente:

$y = y_{0} + vsen heta cdot t - frac{gt^{2}}{2}$

$y = 4sen heta cdot t - frac{10t^{2}}{2}$

$y = 4 sen heta cdot t - 5t^{2} (I)$

Horizontal:

$d - p = v cos heta cdot t$

$2 - p = 4 cos heta cdot t$

$p = 2 - 4cos heta cdot t (II)$

Pela ampliação:

$A = frac{y}{y} = frac{f}{f-p}$

Substituindo (I), (II) e f no aumento, temos que:

$frac{y}{4sen heta cdot t - 5t^{2}} = frac{1,2}{1,2 - (2-4cos heta cdot t)}$

$y = frac{4,8 sen heta cdot t - 6t^{2}}{4 cos heta cdot t - 0,8}$

Como queremos que y' varie de forma linear com o tempo, podemos reescrever:

$Kt = frac{4,8 sen heta cdot t - 6t^{2}}{4 cos heta cdot t - 0,8}$

$4,8 sen heta cdot t - 6t^{2} = 4K cos heta cdot t^{2} - 0,8 KT$

Pelas propriedades de igualdade polinomial:

$4,8 sen heta = -0,8 K$

$-6 = 4K cos heta$

Portanto:

$K = frac{4,8 sen heta}{-0,8} = frac{-6}{4cos heta}$

$2sen heta cos heta = frac{1}{2}$

$sen (2 heta) = frac{1}{2}$

Portanto:

$heta = 15 ^{circ} + 180^{circ} cdot n ou heta = 75 ^{circ} + 180 ^{circ} cdot n$

Desconsiderando qualquer intervalo superior a 360º, a resposta é 15º ou 75º.

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