Questão 3

IME 2013

Física

[IME- 2013/2014 - 2ª fase]

Uma partícula de carga +Q e massa m move-se pelo espaço presa a um carrinho. Esse movimento é regido pelas seguintes equações de posição nos três eixos, para k, ω1 e ω2 constantes:

Durante todo o movimento, um campo elétrico atua na partícula, o que provoca uma força que tende a arrancá-la do carrinho.

Dado:

• coordenadas nos três eixos do campo elétrico: (0,0,E).

Portanto:

a) mostre que a partícula se move com velocidade escalar constante;

b) determine os instantes em que a força provocada pelo campo elétrico na partícula é ortogonal à sua trajetória;

c) determine as equações dos vetores aceleração tangencial e aceleração normal decompostos nos três eixos;

d) supondo que em $t_{x}=frac{2pi }{omega _{1}+omega _{2}}$ a partícula se solte do carrinho, determine as acelerações normal e tangencial da partícula imediatamente após $t_{x}$ .

Gabarito:

Resolução:

a) o módulo da velocidade de uma particua pode ser obtida por:

$v(t) = sqrt{v_{x} ^{2} + v_{y} ^{2} + v_{z}^{2}}$

Portanto, vamos tentar mostrar que esses valores são constantes. Sabendo que:

$v_{x} (t) = frac{d_{x}}{dt} = kcos (omega _{1}) - kcos (omega _{2} t)$

$v_{x} (t) ^{2} = k^{2}cos^{2} (omega _{1}) + k^{2}cos^{2} (omega _{2} t) - 2 cos (omega _{1} t) cdot cos (omega_{2} t)$

$v_{y} (t) = frac{d_{y}}{dt} = -ksen (omega _{1}) - ksen (omega _{2} t)$

$v_{y} (t) ^{2} = k^{2}sen^{2} (omega _{1}) + k^{2}sen^{2} (omega _{2} t) + 2 sen (omega _{1} t) cdot sen (omega_{2} t)$

$v_{z} (t) = frac{d_{z}}{dt} = 2kcos (frac{omega _{1} + omega _{2}}{2}t)$

$v_{z} (t)^{2} = 4k^{2} cos^{2} (frac{omega _{1} omega _{2}}{2}t)$

$v_{z}(t) ^{2} = 4k^{2} (sqrt{frac{cos ( t cdot (omega _{1} omega _{2}))+1}{2}})^{2}$

$v_{z} (t) ^{2} = 2k^{2} [cos (t cdot omega _{1}+ omega _{2} )+1]$

Agora devemos somar esses três quadrados e ver o que obtemos:

$v_{x} ^{2} + v_{y} ^{2} + v_{z}^{2} = k^{2} [ 2 - 2cos (t (omega _{1} +omega_{2})) + 2 (cos (t (omega _{1} + omega _{2}))+1]$

$v_{x} ^{2} + v_{y} ^{2} + v_{z}^{2} = 4k^{2}$

Logo:

$v(t) = sqrt{4k^{2}}$

$v(t) = 2 cdot |k|$

b) A força sendo perpendicular à trajetória faz-nos supor que esse vetor força é perpendicular ao vetor velocidade. Pela definição de produto interno, este entre os dois vetores deve ser nulo:

$(v_{x}, v_{y}, v_{z}) cdot vec{F} _{E} = 0$

$(v_{x}, v_{y}, v_{z}) cdot (0, 0, Q cdot E) =0$

$Q cdot E cdot v_{z} = 0 Rightarrow v_{z} = 0$

$v_{z} = 0Leftrightarrow 2k cdot cos (frac{omega _{1} + omega _{2}t}{2}) = 0$

$frac{omega _{1} + omega _{2}}{2} cdot t = frac{pi}{2} + n cdot pi Rightarrow oxed {t = frac{(2n+1) pi}{omega_{1} + omega _{2}}}$

c) Se a velocidade é constante, conforme demonstramos, a aceleração é nula. Assim, a segunda derivada de cada posição deve ser nula. Calculemos as segundas derivadas:

$frac{d^{2}x}{dt} = a_{x} = -komega _{1} sen (omega _{1}t) + k omega _{2} sen (omega _{2}t)$

$frac{d^{2}y}{dt} = a_{y} = -komega _{1} cos (omega _{1}t) - k omega _{2} cos (omega _{2}t)$

$frac{d^{2}z}{dt} = a_{z} = -k (omega _{1} + omega _{2}) cdot sen (frac{omega _{1} + omega_{2}}{2} t)$

d) A partícula estará sujeita à força elétrica após soltar-se:

$F = QE$

$vec{F} = (0,0,QE) Leftrightarrow vec{a} = (0,0, frac{QE}{m})$

Sabe-se que a aceleração tangencial é paralela à velocidade, ao passo que a aceleração radial é perpendicular à velocidade. Portanto, para uma análise é necessário analisar a direção da velocidade no instante t_x. Veja a semelhança entre o argumento z(t) e t_x, calculando inicialmente v_z(t_x):

$v_{z} (frac{2pi}{omega _{1} + omega _{2}}) = 2k cos (frac{omega _{1} + omega _{2}}{2} cdot frac{2pi }{omega_{1} + omega _{2}})$

$v_{z} (frac{2pi}{omega _{1} + omega _{2}}) = 2kcos(pi) leftrightarrow v_{z} (frac{2pi}{omega _{1} + omega _{2}}) = -2k$

Sendo $|v_{z} (t_x)| = |(v(t_{x}))| = 2k$ , logo $v_{x} (t_{x}) = v_{y} (t_{x} = 0)$

Como exercício, tentar provar essa relação matemáticamente.

Desse modo:

$v(t_{x}) = (0,0,-2k)$

Nesse instante, a velocidade é paralela à aceleração e a aceleração radial é nula. Portanto, a aceleração tangencial é a própria aceleração obtida inicialmente.

$a_{radial} = (0,0,0)$

$a_{tangencial} = (0,0,frac{QE}{m})$

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