Questão 26

IME 2013

Física

[IME - 2013/2014 - 1a fase]

O dispositivo apresentado na figura acima é composto por dois cabos condutores conectados a um teto nos pontos a e b. Esses dois cabos sustentam uma barra condutora cd. Entre os pontos a e d, está conectada uma bateria e, entre os pontos a e b, está conectada uma resistência R. Quando não há
objetos sobre a barra, a diferença de potencial é 5 V e os cabos possuem comprimento e seção transversal iguais a e , respectivamente. Quando um objeto é colocado sobre a barra, o comprimento dos cabos sofre um aumento de 10% e a sua seção transversal sofre uma redução de 10%. Diante do exposto, o valor da tensão , em volts, após o objeto ser colocado na balança é aproximadamente

Dados:

Tensão da bateria:
Resistência da barra:
Resistência

2,0

2,7

3,5

4,2

5,0

Gabarito: 4,2

Resolução:

Primeiramente, faz-se uma nova representação do circuito, de forma que os valores fiquem claros:

Inicialmente:
$R_{cabo}=frac{ ho L_0}{S_0}$ ; V_cb = 5V.
Como as resistências da associação em paralelo (entre A e D) são iguais em ambos os fios, então a corrente, ao passar pelo nó em A, se "divide em 2" idênticas (i/2).

Resistência equivalente:
$frac1{R_{eq}}=frac{1}{R+frac{ ho L_0}{S_0}}+frac{1}{R+frac{ ho L_0}{S_0}}\R_{eq}=frac{(R+frac{ ho L_0}{S_0})}{2}$

Com a resistência equivalente, calcula-se a tensão da bateria em função dela e da corrente total (i):
$V_{Bat}=R_{eq}cdot i=frac{R+frac{ ho L_0}{S_0}}{2}cdot i\V_{Bat}=(R+frac{ ho L_0}{S_0})cdot frac i2;mathbf{(I)}$

Analisando as ddps V_ac e V_ab:
$left.egin{matrix} V_{ab}=V_a-V_b=Rfrac i2\V_{ac}=V_a-V_c =frac{ ho L_0}{S_0}frac i2end{matrix} ight|{left.egin{matrix} -V_b=Rfrac i2-V_a\V_c=V_a-frac{ ho L_0}{S_0}frac i2 end{matrix} ight}Somando:{V_c-V_b=V_a-frac{ ho L_0}{S_0}frac i2+Rfrac i2-V_a\ V_{cb}=(R-frac{ ho L_0}{S_0})frac i2mathbf{(II)}}}$

Feito isso, podemos expressar a corrente em função das outras grandezas:
$left.egin{matrix} mathbf{I}:V_{Bat}=(R+frac{ ho L_0}{S_0})cdot frac i2\frac i2=frac{V_{Bat}}{(R+frac{ ho L_0}{S_0})} mathbf{(III)}end{matrix} ight| {left.egin{matrix}mathbf{II}:V_{cb}=(R-frac{ ho L_0}{S_0})frac i2\frac i2=frac{V_{cb}}{R-frac{ ho L_0}{S_0}} mathbf{(IV)}end{matrix} ight|}{left.egin{matrix} Igualando;mathbf{III};a;mathbf{IV}:\frac{V_{Bat}}{(R+frac{ ho L_0}{S_0})} =frac{V_{cb}}{(R-frac{ ho L_0}{S_0})}\ herefore V_{cb}=left(frac{R-frac{ ho L_0}{S_0}}{R+frac{ ho L_0}{S_0}} ight)cdot V_{Bat}mathbf{(V)} end{matrix} ight.}$
Substituindo os valores conhecidos em V, teremos:
$V_{cb}=left(frac{R-frac{ ho L_0}{S_0}}{R+frac{ ho L_0}{S_0}} ight)cdot V_{Bat}\5=left(frac{10^3-frac{ ho L_0}{S_0}}{10^3+frac{ ho L_0}{S_0}} ight)cdot 10\10^3+frac{ ho L_0}{S_0}=2cdot(10^3-frac{ ho L_0}{S_0})\3frac{ ho L_0}{S_0}=10^3\ hereforefrac{ ho L_0}{S_0}=frac{10^3}{3}Omegamathbf{(VI)}$

Com a igualdade VI, iremos trabalhar com o cenário com um objeto posicionado sobre a barra:
$left{egin{matrix} L=(1+10\%)L_0=1,1cdot L_0\S=(1-10\%)S_0=0,9cdot S_0 end{matrix} ight.\Ou;seja:L_0=frac{L}{1,1};e;S_0=frac{S}{0,9}$

Assim:
$frac{10^3}{3}=frac{ ho L_0}{S_0}=frac{ hofrac{L}{1,1}}{frac{S}{0,9}}\ herefore frac{ ho L}{S}=frac{11cdot10^3}{27}Omegamathbf{(VII)}$

No caso do objeto posicionado sobre a barra, usaremos uma relação semelhante à igualdade V, mas com os valores do comprimento e seção transversal sendo L' e S', respectivamente (situação análoga):

$V_{cb}=left(frac{R-frac{ ho L}{S}}{R+frac{ ho L}{S}} ight)cdot V_{Bat}=left(frac{10^3-frac{11}{27}cdot10^3}{10^3+frac{11}{27}cdot10^3} ight)cdot 10=left(frac{1-frac{11}{27}}{1+frac{11}{27}} ight )frac{10^3}{10^3}cdot10=frac{frac{27-11}{ ot{27}}}{frac{27+11}{ ot{27}}}cdot10\ herefore V_{cb}=frac{16}{38}cdot10approx4,2V$

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