Questão 23

IME 2013

Física

[IME - 2013/2014 - 1a fase]

Um cone de base circular, de vértice V e altura h é parcialmente imerso em um líquido de massa específica µ, conforme as situações I e II, apresentadas na figura acima. Em ambas as situações, o cone está em equilíbrio estático e seu eixo cruza a superfície do líquido, perpendicularmente, no ponto A. A razão entre o comprimento do segmento e a altura h do cone é dada por

Gabarito:

Resolução:

No equilíbro, o empuxo deve ter mesmo módulo que o peso. Como é o mesmo corpo, infere-se que o empuxo é igual em ambas as situações:

$E_{I} = E_{II}$

$mu g V_{I} = mu g V_{II}$

$V_I = V_{II}$

Portanto, os volumes submersos devem ser iguais. Dessa forma, o volume do cone formado pela base de raio r deve ter volume numericamente igual à metade do volume total do cone.

Sabendo que: $V_{total } = frac{1}{3} pi R^{2} h$

$V_{II} = frac{1}{2} V_{total}$

$frac{1}{3} pi r^{2} cdot overline{VA} = frac{1}{2} cdot frac{1}{3} pi R^{2} h$

$r^{2} cdot overline{VA} = frac{1}{2} R^{2} h$

Por semelhança:

$frac{r}{overline{VA}} = frac{R}{h} Rightarrow r = frac{overline{VA}R}{h}$

Substituindo na equação acima:

$(frac{overline{VA}}{h} cdot R)^{2} cdot overline{VA} = frac{R^{2} h}{2}$

$(frac{overline{VA}}{h})^{3} = frac{1}{2}$

$(frac{overline{VA}}{h}) = frac{1}{sqrt[3]{2}}$

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