Questão 16

IME 2012

Física

[IME - 2012/2013 - 1a fase]

Uma partícula de carga q e massa m está sujeita a dois campos elétricos ortogonais Ex(t) e Ey(t), dados pelas equações:

E_x(t) = 5sen(2t)

E_y(t) = 12cos(2t)

Sabe-se que a trajetória da partícula constitui uma elipse. A velocidade escalar máxima atingida pela partícula é:

Gabarito:

Resolução:

MÉTODO 1: SEM CÁCULO

Como a trajetória é uma elipse, então o problema proposto se trata de uma composição de MHS nos eixos x e y, conforme mostrado na figura abaixo:

Lembrando da composição ou sobreposição de dois MHS:

Caso especial, onde: $W_{1} = W_{2} = W_{3}$

$x_{1} (t) = x(t) = A cos(Wt + phi _{1})$

$x_{2} (t) = y(t) = B cos(Wt + phi _{w}) = B sen(Wt + phi _{1})$

Essa última equidade é possível, pois temos que:

$delta = phi _{2} - phi _{1} = -frac{pi}{2}$

Assim:

$frac{x^{2}(t)}{A^{2}} + frac{y^{2}(t)}{B^{2}} = 1$

Obtemos portanto a equação de uma elipse de semi-eixos A e B. Se A = B a trajetória é circular.

Lembrando que no MHS as equações são da forma:

$x = Acos(omega t + phi_{0})$

$v = -omega Asen(omega t + phi_{0})$

$a = -omega^2 Acos(omega t + phi_{0})$

Devemos modificar as equações x e y para ficarem dessa forma... Logo:

$F_{r} = ma = qE Rightarrow a = frac{qE}{m}$

$herefore a_{x} = 5frac{q}{m}sen(2t)$

$herefore a_{y} = 12frac{q}{m}cos(2t)$

Reescrevendo as acelerações de x e y relembrando que:

$senx = cos(frac{pi}{2}-x)$

$cosx = -cos(pi-x) = -cos(x+pi)$

1) Para x:

$a_{x} = 5frac{q}{m}sen(2t) = 5frac{q}{m}cos(frac{pi}{2}-2t) = -5frac{q}{m}cos(2t+frac{pi}{2})$

$herefore a_{x} = -5frac{q}{m}cos(2t+frac{pi}{2})$

2) Para y:

$a_{y} = 12frac{q}{m}cos(2t) = -12frac{q}{m}cos(2t+pi)$

$herefore a_{y} = -12frac{q}{m}cos(2t+pi)$

Agora, ambas as equações ficaram escritas no formato de um MHS

Portanto, podemos agora obter as equações das velocidades comparando as equações com as fórmulas de MHS:

Se $a = -omega^2 Acos(omega t + phi_{0})$

*) Para x:

$omega = 2$

$A = frac{5q}{4m}$

$phi_{0} = frac{pi}{2}$

Logo, a velocidade é dada por:

$v_{x}(t)= -frac{5q}{2m}sen(2t+frac{pi}{2}) = -frac{5q}{2m}cos(2t)$

*) Para y:

$omega = 2$

$A = frac{3q}{m}$

$phi_{0} = pi$

Logo, a velocidade é dada por:

$v_{y}(t)= -frac{6q}{m}sen(2t+pi) = frac{6q}{m}sen(2t)$

***) Por fim, podemos concluir que:

$herefore v(t) = sqrt{v_{x}^2+v_{y}^2}$

$v(t) = |frac{q}{m}| cdot sqrt{frac{25cos^2(2t)}{4}+36sen^2(2t)} = |frac{q}{m}| cdot sqrt{36-frac{119cos^2(2t)}{4}}$

O máximo ocorre quando cos(2t) = 0

Logo: $v(t)_{max} = 6|frac{q}{m}|$

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

MÉTODO 2: COM CÁLCULO

Calculando as acelerações, teremos que:

$F_{r} = ma = qE Rightarrow a = frac{qE}{m}$

$herefore a_{x} = 5frac{q}{m}sen(2t)$

$herefore a_{y} = 12frac{q}{m}cos(2t)$

Agora, iremos obter as velocidades integrando a aceleração:

$a_{x} = frac{dv_{x}}{dt} Rightarrow int_{0}^{t} dv_{x} = int_{0}^{t} a_{x}dt$

$v_{x}(t)= 5frac{q}{m}cdot int_{0}^{t} sen(2t)dt = -frac{5q}{2m}cos(2t) +c_{1}$

Analogamente, para o movimento em y:

$a_{y} = frac{dv_{y}}{dt} Rightarrow int_{0}^{t} dv_{y} = int_{0}^{t} a_{y}dt$

$v_{y}(t)= 12frac{q}{m}cdot int_{0}^{t} cos(2t)dt = frac{6q}{m}sen(2t) +c_{2}$

Como não conhecemos os valores das constantes c1 e c2, devemos obter as posições x e y sabendo que a trajetória é uma elipse, então:

$v_{x} = frac{dx}{dt}Rightarrow int_{0}^{t} dx = int_{0}^{t}v_{x}dt$

$x = -frac{5q}{2m}int_{0}^{t}cos(2t)dt + int_{0}^{t}c_{1}dt Rightarrow x = -frac{5q}{4m}sen(2t) +c_{1}t +c_{1}$

$v_{y} = frac{dy}{dt}Rightarrow int_{0}^{t} dy = int_{0}^{t}v_{y}dt$

$y = frac{6q}{m}int_{0}^{t}sen(2t)dt + int_{0}^{t}c_{2}dt Rightarrow y = -frac{3q}{m}cos(2t) +c_{2}t +c_{2}$

Desse modo, para que a trajetória da partícula seja uma elipse, devemos necessariamente ter que:

$c_{1} = c_{2} = c_{1}=c_{2} = 0$

pois as posições em x e y devem ser função apenas de senos e cossenos para que tenhamos uma elipse

logo:

$v_{x}(t)= -frac{5q}{2m}cos(2t)$

$v_{y}(t)= frac{6q}{m}sen(2t)$

$herefore v(t) = sqrt{v_{x}^2+v_{y}^2}$

$v(t) = |frac{q}{m}| cdot sqrt{frac{25cos^2(2t)}{4}+36sen^2(2t)} = |frac{q}{m}| cdot sqrt{36-frac{119cos^2(2t)}{4}}$

O máximo ocorre quando cos(2t) = 0

Logo: $v(t)_{max} = 6|frac{q}{m}|$

Dúvidas ou sugestões? Comentem!!!

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